Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского
Опубликован: 27.09.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 3852 / 211 | Оценка: 4.44 / 4.11 | Длительность: 13:45:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 11:

Рационализация переборных алгоритмов

< Лекция 10 || Лекция 11: 123 || Лекция 12 >

Теорема 5. В хордальном графе всякое минимальное разделяющее множество является кликой.

Доказательство. Допустим, что в некотором графе G есть минимальное разделяющее множество X, не являющееся кликой. Это означает, что в X имеются несмежные вершины a и b. При удалении множества X образуется не менее двух новых компонент связности. Пусть C_{1} и C_{2} - такие компоненты. Вершина a смежна, по крайней мере, с одной вершиной в каждой из этих компонент. Действительно, если a была бы не смежна, скажем, ни с одной из вершин компоненты C_{1}, то множество X-\{a\} тоже было бы разделяющим, а это противоречит минимальности разделяющего множества X. То же относится к вершине b. Выберем в компоненте C_{1} такие вершины x_{1} и y_{1}, чтобы x_{1} была смежна с вершиной a, y_{1} - с вершиной b и при этом расстояние между x_{1} и y_{1} в C_{1} было минимальным (возможно x_{1} =y_{1} ). Аналогично выберем x_{2} и y_{2} в компоненте C_{2}. Пусть P_{1} - кратчайший путь из x_{1} в y_{1} в компоненте C_{1}, а P_{2} - кратчайший путь из y_{2} в x_{2} в компоненте C_{2} (каждый из этих путей может состоять из одной вершины). Тогда последовательность a,P_{1},b,P_{2},a является простым циклом без хорд длины не менее 4. Следовательно, граф G - не хордальный.

Вершина графа называется симплициальной, если множество всех смежных с ней вершин является кликой или пустым множеством.

Теорема 6. В любом хордальном графе имеется симплициальная вершина.

Доказательство. В полном графе любая вершина является симплициальной. Докажем индукцией по числу вершин n, что в любом хордальном графе, не являющемся полным, есть две несмежные симплициальные вершины. При n=2 это, очевидно, так. Пусть G - хордальный граф с n вершинами, n>2, не являющийся полным. Если G несвязен, то, по предположению индукции, во всех компонентах связности есть симплициальные вершины. Допустим, что граф G связен. Так как он не полный, то в нем есть разделяющее множество, а по теореме 5 есть разделяющая клика. Пусть C - такая клика, A и B - две новые компоненты связности, появляющиеся при удалении из графа всех вершин клики C. Рассмотрим подграф G_{A}, порожденный множеством A\cup C. Если он полный, то в нем любая вершина симплициальна. Если же он не полный, то по предположению индукции в нем есть две несмежные симплициальные вершины. Хотя бы одна из этих двух вершин принадлежит множеству A. Итак, в любом случае в множестве A имеется вершина a, являющаяся симплициальной в графе G_{A}. Окрестность вершины a во всем графе G совпадает с ее окрестностью в подграфе G_{A}. Следовательно, a - симплициальная вершина графа G. Аналогично, в множестве B имеется симплициальная вершина графа G и она не смежна с вершиной a.

Существование симплициальных вершин можно использовать для создания эффективного алгоритма раскрашивания хордального графа в наименьшее число цветов. План такого алгоритма содержится в доказательстве следующей теоремы:

Теорема 7. Для любого хордального графа \chi (G)=\omega(G).

Доказательство. Пусть G - хордальный граф с n вершинами и \omega (G)=k. Покажем, что граф G можно правильно раскрасить в k цветов. Найдем в нем симплициальную вершину и обозначим ее через x_{n}, а граф, полученный удалением этой вершины, через G_{n-1}. Этот граф тоже хордальный, значит, в нем тоже есть симплициальная вершина. Пусть x_{n-1} - симплициальная вершина в графе G_{n-1}, а G_{n-2} - граф, получаемый из него удалением этой вершины. Продолжая действовать таким образом, получим последовательность вершин x_{n},x_{n-1}\ldots x_{1} и последовательность графов G_{n},G_{n-1}\ldots G_{1} (здесь G_{n} =G ), причем при каждом i вершина x_{i} является симплициальной в графе G_{i}, а граф G_{i-1} получается из G_{i} удалением этой вершины.

Допустим, что граф G_{i-1} правильно раскрашен в k цветов. Покажем, что вершину x_{i} можно покрасить в один из этих цветов, сохраняя правильность раскраски. Действительно, x_{i} - симплициальная вершина графа G_{i}, значит, множество C всех смежных с ней в этом графе вершин является кликой. Так как при добавлении к множеству C вершины x_{i} тоже получается клика, а мощность наибольшей клики в графе G равна k, то |C|\le k-1. Значит, для окрашивания вершин множества C использовано не более k-1 цвета. Поэтому для вершины x_{i} можно использовать один из оставшихся цветов.

Итак, каждый из графов G_{i}, а значит, и исходный граф G, можно правильно раскрасить в k цветов. Отсюда следует, что \chi (G)\le \omega (G). Обратное неравенство было установлено в "Раскраски" .

< Лекция 10 || Лекция 11: 123 || Лекция 12 >
Татьяна Наумович
Татьяна Наумович

Скажите, пожалуйста, можно ли еще получить документ о прохождении курса ("Графы и алгоритмы", декабрь 2020) после предоставления всех дополнительных необходимых документов?
Или нужно проходить заново?

Петр Петров
Петр Петров

произведение графов К(2)*О(4) фактически 4 отдельных графа К(2)?