Потоки

Задача о максимальном потоке

В этой лекции будем рассматривать ориентированные графы без петель и кратных ребер. Для вершины множество всех входящих в нее ребер обозначается через , а множество выходящих - через . Сетью называется орграф, в котором:

1. каждому ребру приписано положительное число , называемое пропускной способностью ребра ;
2. выделены две вершины и , называемые соответственно источником и стоком, при этом .

Вершины сети, отличные от источника и стока, будем называть внутренними.

Пусть задана сеть с множеством вершин и множеством ребер . Функция с вещественными значениями, определенная на , называется потоком в сети , если она удовлетворяет следующим условиям:

• (1) для каждого ребра ;
• (2) для каждой внутренней вершины .

На рис. 16.1 показан пример сети и потока в ней. Число, вписанное в примыкающий к ребру квадрат, представляет пропускную способность, а другое число, написанное около ребра, - величину потока.

Рис. 16.1.

Условие (2), называемое условием сохранения потока, иногда удобно представлять в несколько иной форме. Пусть - любая числовая функция, определенная на ребрах сети. Дивергенцией функции в вершине называется величина

Заметим, что для любой такой функции имеет место равенство

( 1)

так как каждое ребро является входящим для одной вершины и выходящим для другой, и, следовательно, каждое ребро в этой сумме представлено двумя слагаемыми: и .

Условие сохранения означает, что дивергенция потока в каждой внутренней вершине должна быть равна . Поэтому из равенства (1) следует, что для потока

Величина

называется величиной потока. В примере на рис. 16.1 . Задача о максимальном потоке состоит в том, чтобы для данной сети найти поток наибольшей величины.