Потоки

Теорема 1. Поток максимален тогда и только тогда, когда относительно него нет увеличивающего пути. Максимальная величина потока равна минимальной пропускной способности разреза данной сети.

Доказательство. Если поток максимален, то из леммы 3 следует, что увеличивающего пути нет. Обратно, пусть - поток, относительно которого нет увеличивающего пути. Покажем, что этот поток максимален. Для этого рассмотрим множество , состоящее из всех вершин сети, достижимых подходящими путями из вершины , . Так как увеличивающих путей нет, то , так что - разрез. Пусть - ребро этого разреза. Вершина достижима из подходящим путем, а вершина недостижима. Тогда , так как иначе к подходящему пути, ведущему из в , можно было бы добавить ребро и вершину , и получился бы подходящий путь из в . Итак, на каждом ребре разреза поток равен пропускной способности, следовательно, . Аналогично, рассматривая ребра из множества , убеждаемся, что поток на каждом таком ребре равен 0, в противном случае опять можно было бы продолжить некоторый подходящий путь до вершины из . Следовательно, . Применяя лемму 1, получаем

.

По лемме 2, величина любого потока не превосходит пропускной способности любого разреза. Значит, - максимальный поток, а - разрез с минимальной пропускной способностью.

Многие известные алгоритмы построения максимального потока основаны на этой теореме и различаются, в частности, стратегией поиска увеличивающих путей. Первый алгоритм, для которого была получена верхняя оценка трудоемкости, предложили Эдмондс и Карп в 1972 г. В этом алгоритме всегда ищется кратчайший (по числу ребер) увеличивающий путь. Удобно этот поиск вести не на исходной сети , а на остаточной сети , которая при заданном на сети потоке определяется следующим образом. Множество вершин, источник и сток у остаточной сети те же, что у исходной. Пусть - ребро исходной сети. Тогда

1. если f(e)< c(e), то ребро включается в сеть и ему в этой сети присваивается пропускная способность ;
2. если , то к сети добавляется ребро противоположного направления с пропускной способностью .

Легко видеть, что увеличивающие пути в исходной сети находятся во взаимно однозначном соответствии с ориентированными путями из источника в сток в остаточной сети. В алгоритме Эдмондса--Карпа нужно в остаточной сети искать кратчайший ориентированный путь из в . Это можно сделать за линейное время с помощью поиска в ширину. Если увеличивающий путь обнаружен, поток увеличивается, как описано в доказательстве леммы 3, для нового потока строится остаточная сеть и т.д., пока не будет построен поток, относительно которого нет увеличивающего пути (в остаточной сети нет ориентированного пути из источника в сток. Общая оценка трудоемкости алгоритма Эдмондса--Карпа . В настоящее время известны и более быстрые алгоритмы для задачи о максимальном потоке.