Паросочетания

Метод увеличивающих путей

Пусть - граф, - некоторое паросочетание в нем. Ребра паросочетания будем называть сильными, остальные ребра графа - слабыми. Вершину назовем свободной, если она не принадлежит ребру паросочетания. На рис. 12.1 слева показан граф и в нем выделены ребра паросочетания . Вершины 4 и 5 - свободные. Заметим, что к этому паросочетанию нельзя добавить ни одного ребра, т.е. оно максимальное. Однако оно не является наибольшим. В этом легко убедиться, если рассмотреть путь (показан пунктиром). Он начинается и заканчивается в свободных вершинах, а вдоль пути чередуются сильные и слабые ребра. Если на этом пути превратить каждое сильное ребро в слабое, а каждое слабое - в сильное, то получится новое паросочетание, показанное на рисунке справа, в котором на одно ребро больше. Увеличение паросочетания с помощью подобных преобразований - в этом и состоит суть метода увеличивающих путей.

Рис. 12.1.

Сформулируем необходимые понятия и докажем теорему, лежащую в основе этого метода. Чередующимся путем относительно данного паросочетания называется простой путь, в котором чередуются сильные и слабые ребра (т.е. за сильным ребром следует слабое, за слабым - сильное). Чередующийся путь называется увеличивающим, если он соединяет две свободные вершины. Если - паросочетание, - увеличивающий путь относительно , то легко видеть, что - тоже паросочетание и .

Для решения задачи о паросочетании остается научиться находить увеличивающие пути или убеждаться, что таких путей нет. Тогда, начиная с любого паросочетания (можно и с пустого множества ребер), можем строить паросочетания со все увеличивающимся количеством ребер до тех пор, пока не получим такое, относительно которого нет увеличивающих путей. Оно и будет наибольшим. Известны эффективные алгоритмы, которые ищут увеличивающие пути для произвольных графов. Рассмотрим сначала более простой алгоритм, решающий эту задачу для двудольных графов.