Паросочетания

Паросочетания в двудольных графах

Пусть - двудольный граф c долями и , - паросочетание в . Всякий увеличивающий путь, если такой имеется, соединяет вершину из множества с вершиной из множества .

Зафиксируем некоторую свободную вершину . Мы хотим найти увеличивающий путь, начинающийся в , либо убедиться в том, что таких путей нет. Оказывается, нет необходимости рассматривать все чередующиеся пути, начинающиеся в вершине , для того, чтобы установить, какие вершины достижимы из вершины чередующимися путями.

Вершину назовем четной или нечетной в зависимости от того, четно или нечетно расстояние между нею и вершиной . Поскольку граф двудольный, любой путь, соединяющий вершину с четной (нечетной) вершиной, имеет четную (нечетную) длину. Поэтому в чередующемся пути, ведущем из вершины в четную (нечетную) вершину, последнее ребро обязательно сильное (слабое).

Определим дерево достижимости как максимальное дерево с корнем , в котором каждый путь, начинающийся в корне, является чередующимся. Дерево достижимости определено не однозначно, но любое такое дерево в двудольном графе обладает следующим свойством:

Итак, для решения задачи остается научиться строить дерево достижимости. Для этого можно использовать слегка модифицированный поиск в ширину из вершины . Отличие от стандартного поиска в ширину состоит в том, что открываемые вершины делятся на четные и нечетные. Для четных вершин исследуются инцидентные им слабые ребра, а для нечетных - сильные. Через , как обычно, обозначается множество вершин, смежных с вершиной , - очередь, используемая при поиске в ширину. Если вершина не является свободной, т.е. инцидентна некоторому сильному ребру, то другая вершина этого ребра обозначается через .