Паросочетания

Теорема 3. Пусть - паросочетание в графе , - цикл длины в этом графе, причем на цикле имеется сильных ребер и одна свободная вершина. Пусть - паросочетание в графе , составленное из всех ребер паросочетания , не принадлежащих циклу . Паросочетание является наибольшим в графе тогда и только тогда, когда - наибольшее паросочетание в графе .

Доказательство. Докажем, что из существования увеличивающего пути относительно паросочетания в графе следует, что существует увеличивающий путь относительно паросочетания в графе и обратно.

Пусть - свободная вершина цикла . Новую вершину, образованную в графе при стягивании цикла , обозначим через . Отметим, что она является свободной вершиной относительно паросочетания .

Пусть - увеличивающий путь в графе . Если он не содержит вершин цикла , то он будет увеличивающим путем и в графе . В противном случае рассмотрим отрезок пути , начинающийся в свободной вершине, отличной от , заканчивающийся в вершине , лежащей на цикле , и не содержащий других вершин цикла . Если в пути заменить вершину вершиной , то, очевидно, получится увеличивающий путь в графе .

Обратно, пусть - увеличивающий путь в графе . Если не проходит через вершину , то он будет увеличивающим путем и в графе . В противном случае рассмотрим путь , получающийся удалением вершины из пути . Можно считать, что вершина была последней вершиной пути , а путь заканчивается в предпоследней вершине . Так как вершина смежна с вершиной в графе , то в графе на цикле имеется вершина , смежная с . Добавим к пути тот из отрезков цикла , соединяющих вершину с вершиной , который начинается сильным ребром. В результате получится увеличивающий путь в графе .