НОУ ИНТУИТ | Основы математического моделирования. Лекция 10: Вычисление оптимальных стратегий в бесконечных играх

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 06.11.2008 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

|

Вам нравится? Нравится 41 студенту

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Описание бесконечной игры. Вычисление оптимальных смешанных стратегий в играх на единичном квадрате. Свойства оптимальных стратегий. Вычисление оптимальных смешанных стратегий в играх на единичном квадрате. Игры на единичном квадрате с выбором момента времени. Задача.

Ключевые слова: бесконечная игра, чистая стратегия, ПО, игра на единичном квадрате, функция, функция выигрыша, минимум, максимум, неравенство, место, равенство, решение игры, оптимальная стратегия, смешанная стратегия, выражение, значение, значение игры, стратегия игрока, решение игры в смешанных стратегиях, график, прямой, строго выпуклая функция, строго вогнутая функция, игра, доказательство, дуэль, вероятность, антагонистическая бесконечная игра на единичном квадрате, класс, шумная дуэль, атака, очередь, единица, критерий эффективности, чистая стратегия игрока, матричная игра, объект

Описание бесконечной игры

Общие методы вычисления оптимальных стратегий в бесконечных играх в настоящее время еще мало разработаны. Поэтому рассмотрим только некоторые частные игры, которые представляют практический интерес и допускают сравнительно простой подход при вычислении оптимальных стратегий (Абчук В.А., Емельянов Л.А., Матвейчук Ф.А., Суздаль В.Г. "Введение в теорию выработки решений" В. издательство, Москва, 1972.) .

К бесконечным играм относятся модели конфликтных ситуаций, в которых каждая из противоположных сторон выбирает некоторые значения непрерывно меняющегося параметра (процентное соотношение распределения поисковых сил по районам поиска или бюджета между компаниями). В этом случае чистые стратегии игроков представляют выборы тех или иных чисел из некоторого интервала. Без потери общности можно считать, что эти стратегии являются точками отрезка единичной длины [0,1] . Тогда такую игру можно описать следующим образом.

Игрок I выбирает чистую стратегию , где $0\le x\le 1$ , а игрок II выбирает чистую стратегию , где $0\le y\le 1$ . Выбранные стратегии и определяют ситуацию (x,y) , в которой игрок I получает выигрыш K(x,y) . Множество ситуаций заполняет единичный квадрат (рис. 10.1).

Рис. 10.1.

По этому иногда такие игры называют играми на единичном квадрате. Функция, ставящая в соответствие каждой ситуации выигрыш, который получает игрок I, называется функцией выигрыша.

Предположим, что функция K(x,y) имеет минимум по для $0\le y \le 1$ и максимум для $0\le y \le 1$ . Тогда, если игрок I выберет , то как бы ни действовал игрок II, первый может рассчитывать выиграть по меньшей мере

$\mathop{min}\limits_y K(x,y)$ .

Поскольку игрок I может выбрать любое из интервала [0,1] , он может выбрать и такое , при котором его выигрыш будет максимальным, то есть игрок I при надлежащим выборе гарантирует себе выигрыш не меньше чем

$\mathop{max}\limits_x \mathop{min}\limits_y K(x,y)$ .

Аналогично игрок II может выбрать такое y, при котором игрок I не выиграет более чем

$\mathop{min}\limits_y \mathop{max}\limits_x K(x,y)$ .

Следовательно, существует неравенство

$\mathop{max}\limits_x \mathop{min}\limits_y K(x,y)\le \mathop{min}\limits_y \mathop{max}\limits_x K(x,y)$

( 10.1)

Если в (9.1.) имеет место равенство, то есть

$\mathop{max}\limits_x \mathop{min}\limits_y K(x,y)= \mathop{min}\limits_y \mathop{max}\limits_x K(x,y)$ ,

то функция выигрыша K(x,y) имеет седловую точку, то есть существуют такие x_0 и y_0 , при которых K(x_0,y_0) является одновременно минимальным по и максимальным по . Очевидно, что в этом случае

$и \left \begin{array}{ccc} K(x_0,y) \ge K(x_0,y_0)\text{ для }0\le y\le 1\\ K(x,y_0) \le K(x_0,y_0) \text{ для }0\le x\le 1 \end{array} \right\rangle$

( 10.2)

Если при любых и пара (x_0,y_0) удовлетворяет неравенствам (2), то эта пара называется решением игры в чистых стратегиях. Соответственно этому игроки должны применять чистые стратегии x_0 и y_0 , которые называются оптимальными. При

$\mathop{max}\limits_x \mathop{min}\limits_y K(x,y) < \mathop{min}\limits_y \mathop{max}\limits_x K(x,y)$

игроки должны применять смешанные стратегии.

Смешанная стратегия в бесконечной игре на единичном квадрате представляет собой случайный выбор числа из интервала [0,1] , то есть если задана смешанная стратегия, то это определяет закон распределения, в соответствии с которым игрок выбирает число из интервала [0,1] . Для математического описания такого закона распределения удобно пользоваться функцией распределения.

Предположим, что игрок I выбирает число из интервала [0,1] согласно функции распределения F(x) . Тогда для любой чистой стратегии игрока II математическое ожидание выигрыша M(F,y) , если оно существует, будет равно

$\int\limits_{0}^{1}K(x,y)dF(x)$ .

Пусть игрок II выбирает число из интервала [0,1] согласно функции распределения G(y) . Тогда математическое ожидание выигрыша M(F,G) , если оно существует, будет равно

$\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1} K(x,y)dF(x)dG(y)$ .

Предположим, что существует

$\mathop{max}\limits_F \mathop{min}\limits_G M(F,G)$ и $\mathop{max}\limits_G \mathop{min}\limits_F M(F,G)$

Выражение $\mathop{min}\limits_G M(F,G)$ означает, что определяется такой вид функции распределения G(y) , который минимизирует выражение M(F,G) при заданной функции распределения F(x) . Тогда выполняется следующее неравенство:

$\mathop{max}\limits_F \mathop{min}\limits_G M(F,G) \le \mathop{max}\limits_G \mathop{min}\limits_F M(F,G)$

( 10.3)

.

В теории игр доказывается, что, если функция выигрыша непрерывна по и , то

$\mathop{max}\limits_F \mathop{min}\limits_G M(F,G) = \mathop{max}\limits_G \mathop{min}\limits_F M(F,G)$

( 10.4)

Общее значение обеих частей этого равенства называется значением игры и обозначается $\nu$ .

Если существуют такие x_0 и y_0 , что выполняются неравенства (10.2.), то значение игры равно K(x_0,y_0) .

Если выполняется (10.4.), то у игрока I имеется такая стратегия (функция распределения) F^*(x) , что математическое ожидание выигрыша будет

$M(F,G^*)\ge\nu$

для любой стратегии игрока II G(y) .

Аналогично, если выполняется (10.4.) , то существует функция распределения G^*(y) игрока II, при использовании которой математическое ожидание выигрыша будет

$M(F,G^*)\le\nu$

для любой стратегии игрока I F(x) .

Стратегии F^*(x) и G^*(y) называются оптимальными стратегиями игроков I и II, соответственно. Пара (F^*,G^*) называется решением игры в смешанных стратегиях, а значение игры равно