Вычисление оптимальных стратегий в бесконечных играх

Игры на единичном квадрате с выбором момента времени

Другим важным классом игр на единичном квадрате, для которых можно найти решение, являются игры с выбором момента времени. В этих играх чистой стратегией каждого игрока является выбор момента времени для выполнения определенных действий. Например в военном деле к таким действиям относится применение оружия каждым из противников друг против друга. Поэтому такие ситуации называются дуэльными или просто дуэлями . Характерной особенностью дуэли является то, что каждый из противников стремится по возможности задержать свой выстрел, так как вероятность поражения с течением времени увеличивается. Однако задержка в применении своего оружия имеет разумные пределы, обусловленные тем, что противник может применить свое оружие раньше и выиграть дуэль.

Примером дуэльных ситуаций в военном деле могут служить бои подводных лодок, истребителей, танков и так далее. В этих ситуациях выбор момента применения оружия каждым из противников после взаимного обнаружения представляет собой стратегию игрока. Немедленное или слишком раннее применение оружия может привести к промаху из-за большой дистанции и отсутствия информации об элементах движения противника, а длительное маневрирование для сближения, определения координат и элементов движения противника даст возможность ему применить свое оружие первым и достичь успеха.

Дуэльная ситуация хорошо моделируется антагонистической бесконечной игрой на единичном квадрате, если считать, что стратегиями игроков являются числа , которые можно интерпретировать как нормированные моменты времени применения оружия каждым из игроков.

Функция выигрыша в ситуации такой игры представляет вероятности поражения игроком I игрока II и определяется следующим соотношением:

( 10.10)

где — вероятность поражения игроком I игрока II, если игрок I упреждает игрока II в применении оружия;

— вероятность поражения игроком I игрока II, если оба игрока применяют оружие одновременно;

— вероятность поражения игроком I игрока II, если игрок II упреждает игрока I в применении оружия.

При задании функции выигрыша принимается, что если игрок II предполагает применить свое оружие в некоторый фиксированный момент времени , то игрок I

увеличивает свой выигрыш, выжидая сколько возможно, но действуя все же раньше игрока II. Если же игрок I применяет свое оружие после применения игроком II, то он может проиграть при условии, что оружие игрока II достигает цели. В случае же промаха игрока II шансы на успех у игрока I возрастают со временем. Математически это выражается тем, что функции и монотонно убывают по для каждого .

Игры с выбором момента времени не обязательно включают по одному действию с каждой стороны, они могут содержать и повторные действия. Кроме того, как и во всех играх, противники могут иметь различную информацию о действиях каждого из них. Решение подобных игр представляет большую сложность, и поэтому рассмотрим только простейший класс, когда каждый из двух противников располагает одним выстрелом, при котором вероятность поражения монотонно возрастает со временем. Кроме того, в этом классе игр действия каждого из игроков, а также их последствия немедленно становятся известными противнику. Поэтому такую игру можно назвать игрой с выбором момента времени в условиях полной информации. Так называемые шумные дуэли являются примером игр этого класса.

В шумной дуэли каждой из двух игроков имеет возможность произвести только один выстрел. По звуку (шуму) каждый игрок знает, что его противник выстрелил. Наличие информации о действиях противника дает возможность считать, что математическое ожидание выигрыша , является функцией только , а , — функцией только .

Пусть вероятность поражения игрока II является непрерывной функцией, которая монотонно возрастает по . Аналогично вероятность поражения игрока I также является непрерывной функцией, которая монотонно возрастает по .

Будем считать, что если игрок I поражает игрока II, то выигрыш игрока I

равен 1; если игрок II поражает игрока I, то выигрыш игрока I равен –1; если ни один из игроков не поражен или поражены оба игрока, то выигрыш игрока I равен 0.

В общем виде математическое ожидание выигрыша игрока I, когда игроки используют чистые стратегии и , равно (10.10.)

Определим следующим образом. При первым применяет оружие игрок I, и вероятность того, что он поразит игрока II, равна , и выигрыш игрока I будет равна . В случае промаха, вероятность которого равна , игрок II применит свое оружие в момент и поразит игрока I, выигрыш которого тогда будет равен –1. Следовательно,

.

Таким образом, математическое ожидание выигрыша игрока в рассматриваемой игре с выбором момента времени будет

( 10.11)

На основании того, что и увеличиваются с увеличением и соответственно, можно записать:

Для x, которые удовлетворяют неравенству

( 10.12)

Действительно, на основании 9.12. запишем:

.

Следовательно,

.

Для , которые удовлетворяют равенству

( 10.13)

так как на основании 9.13.

.

Для , которые удовлетворяют неравенству

( 10.14)

так как на основании 9.14.

.

Пусть определяется уравнением

.

Отсюда

.

Следовательно,

,

где удовлетворяет уравнению

( 10.15)

Аналогично можно показать, что

,

где удовлетворяет уравнению

( 10.16)

Следовательно, функция выигрыша имеет седловую точку ( . Отсюда игрок I имеет чистую оптимальную стратегию , определяемую из уравнения (10.15.) , игрок II — чистую оптимальную стратегию , определяемую из уравнения (10.16.), а значение игры равно

( 10.17)

Таким образом, пара является решением игры с выбором момента времени и выражает равновесие между желанием задержки и опасностью промедления.