НОУ ИНТУИТ | Основы математического моделирования. Лекция 2: Основные понятия теории вероятностей

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 06.11.2008 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

|

Вам нравится? Нравится 41 студенту

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Введение. Опыт с равновероятными исходами. Закон сложения вероятностей. Условные вероятности. Общая теоретико-вероятностная схема.

Ключевые слова: опыт, вероятность, закономерность, частота события, элементарное события, Исход, равные события, несовместное событие, объединение, сумма событий, специальный символ, пересечение, произведение событий, разность событий, закон сложения вероятностей, условная вероятность, равенство, Произведение, формула полной вероятности, случайная величина, дискретное распределение, дискретная случайная величина, непрерывное распределение вероятностей, функция, плотность распределения вероятностей величины, математическое ожидание, среднее значение, выражение, предел, математическим ожиданием

Введение

Теория вероятностей изучает объективные закономерности, присущие массовым случайным явлениям. Значительная часть содержащихся в лекциях сведений дается в рамках вполне конкретных задач и примеров. Методам данной теории отведено три лекции.

Опыт с равновероятными исходами

Рассмотрим такой простой опыт, как бросание монеты. Он имеет два взаимно исключающих исхода: выпадение "орла" и выпадение "решки". Рассмотрим некоторый опыт с конечным числом взаимно исключающих друг друга исходов, которые равноправны по отношению к условию данного опыта, то есть равновероятны. Обозначим как некоторое событие, связанное с указанными исходами.

Вероятность

$P(A)=\frac{N(A)}{N}$

( 2.1)

,

где — общее число исходов рассматриваемого опыта, N(A) — число тех из них, которые приводят к наступлению события . Например, при бросании монеты имеется 2 взаимно исключающих равновероятных исхода (выпадение "орла" и выпадение "решки"), и если — любое из этих событий, то вероятность P(A) = 1 , поскольку N(A)=2 .

Накопленные практикой многочисленные наблюдения выявили одну замечательную закономерность, которая позволяет придать глубокий смысл понятию вероятности как в рассмотренном выше опыте с равновероятными исходами, так и в самом общем случае. А именно: предположим, что рассматриваемый опыт, явление и тому подобное могут быть воспроизведены многократно. Так что, в принципе, осуществима целая серия одинаковых и независимых друг от друга испытаний, в каждом из которых по воле случая происходит или не происходит интересующее наблюдателя событие . Пусть обозначает число всех опытов в отдельной серии испытаний и n (A) — число тех из них, в которых осуществляется событие . Отношение $\frac{n(A)}{n}$ называется частотой события в данной серии испытаний. Оказывается, в различных сериях испытаний соответствующие частоты $\frac{n(A)}{n}$ при больших практически совпадают. И P (A) приблизительно равно $\frac{n(A)}{n}$ .

Формально это нужно понимать следующим образом:

$P(A)=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{n(A)}{n}$

( 2.2)

.

Согласно этой эмпирически установленной закономерности вероятность P(A) события характеризует долю тех случаев в большой серии опытов, которые приводят к наступлению события.

При подсчете вероятностей большую пользу оказывают комбинаторные формулы. Приведем наиболее важные из них.

Закон сложения вероятностей

Предположим, что в результате рассматриваемого опыта или явления происходит один из взаимно исключающих друг друга исходов, которые будем обозначать греческой буквой $\omega$ и называть элементарными событиями или элементарными исходами.

Будем говорить, что событие связано с рассматриваемым опытом (или с элементарными исходами $\omega$ ), если по каждому элементарному исходу $\omega$ можно точно судить о том, осуществляется или нет данное событие . Обозначим тем же символом совокупность (иначе множество) всех элементарных исходов $\omega$ , в результате которых наступает событие . Очевидно, событие происходит тогда и только тогда, когда наступает один из элементарных исходов $\omega$ , входящих в указанную совокупность . Вместо того чтобы говорить об исходном событии , можно говорить лишь о событии "наступает элементарный исход $\omega$ , входящий в совокупность ".

События $A_{1}$ и $A_{2}$ называют равными ( $A_{1}=A_{2}$ ), если осуществление события $A_{1}$ влечет за собой осуществление события $A_{2}$ и наоборот, осуществление $A_{2}$ влечет за собой осуществление события $A_{1}$ .

События $A_{1}$ и $A_{2}$ называются несовместными или непересекающимися, если наступление одного из этих событий исключает возможность наступления другого, иначе говоря, $A_{1}$ и $A_{2}$ не могут произойти одновременно.

Объединением или суммой событий $A_{1}$ и $A_{2}$ называется событие , которое означает осуществление хотя бы одного из событий $A_{1}, A_{2}: A= A_{1} \cup A_{2}$ где $\cup$ — специальный символ объединения. Аналогично определяется объединение событий $A_{1},A_{2},...$ , обозначаемое как $A=\mathop{\cup}\limits_k A_k$ .

Пересечением или произведением событий $A_{1}$ и $A_{2}$ называется событие , которое означает осуществление и события $A_{1}$ , и события $A_{2}: A= A_{1} \cap A_{2}$ , где $\cap$ — специальный символ пересечения. Аналогично определяется произведение событий $A_{1},A_{2},...$ , обозначаемое как $A=\mathop{\cap}\limits_k A_k$ .

Разностью событий $A_{1}$ и $A_{2}$ называется событие , которое означает, что происходит событие $A_{1}$ , но не происходит событие $A_{2}: A = A_1 \setminus A_2$ . Дополнительным к событию называется событие $\bar A$ , которое означает, что событие не происходит: $\bar A= \Omega \setminus A_2$ .

Рассмотрим несовместные события $A_{1}$ и $A_{2}$ . Представим себе, что проводится серия одинаковых и независимых между собой опытов, результатом каждого из которых могут быть указанные события A, A_1 и A_2 . Пусть — число всех испытаний, n(A),n(A_1),n(A_2) — число тех из них, которые привели к наступлению соответствующих событий A, A_1 и A_2 . Если в каком-то опыте произошло событие , то это значит, A_2 (одновременно A_1 и A_2 произойти не могут, так как по условию они являются несовместимыми). Поэтому числа n(A),n(A_1),n(A_2) связаны между собой следующим равенством:

n(A) = n(A_1) + N(A_2) .

Следовательно, частоты рассматриваемых событий таковы, что

$\frac{n(A)}{n}=\frac{n(A_1)}{n}+\frac{n(A_2)}{n}$ .

При достаточно большом числе испытаний частоты практически совпадают с соответствующими вероятностями, так что вероятности рассматриваемых событий $A=A_1\cup A_2$ , A_1 и A_2 должны быть связаны между собой следующим равенством:

P(A)=P(A_1)+P(A_2) .

Полученное равенство является выражением так называемого закона сложения вероятностей , согласно которому для любых непересекающихся событий A_1,A_2,.. . вероятность их объединения $\mathop{\cup}\limits_k A_k$ есть

$P(\mathop{\cup}\limits_k A_k)=\sum\limits_kP(A_k)$

( 2.3)

.

Дальше >>

Основы математического моделирования

Основы математического моделирования