Скажите, пожалуйста, можно ли еще получить документ о прохождении курса ("Графы и алгоритмы", декабрь 2020) после предоставления всех дополнительных необходимых документов? |
Потоки
Задача о максимальном потоке
В этой лекции будем рассматривать ориентированные графы без петель
и кратных ребер. Для вершины множество всех входящих в нее
ребер обозначается через
, а множество выходящих -
через
. Сетью
называется орграф, в котором:
- каждому ребру
приписано положительное число
, называемое пропускной способностью ребра ;
- выделены две вершины
и
, называемые соответственно источником и стоком, при этом
.
Вершины сети, отличные от источника и стока, будем называть внутренними.
Пусть задана сеть с множеством вершин
и множеством
ребер
. Функция
с вещественными
значениями, определенная на
, называется потоком в сети
,
если она удовлетворяет следующим условиям:
На рис. 16.1 показан пример сети и потока в ней. Число, вписанное в примыкающий к ребру квадрат, представляет пропускную способность, а другое число, написанное около ребра, - величину потока.
Условие (2), называемое условием сохранения потока, иногда удобно
представлять в несколько иной форме. Пусть - любая
числовая
функция, определенная на ребрах сети. Дивергенцией функции
в вершине
называется величина
![\mathop{\rm div}\nolimits_{f} (x)=\sum_{e\in E^{-} (x)}f(e) -\sum _{e\in E^{+}
(x)}f(e).](/sites/default/files/tex_cache/708ba22053e08e6d16350e4221208a53.png)
Заметим, что для любой такой функции имеет место равенство
![]() |
( 1) |
так как каждое ребро является входящим для одной вершины и выходящим для
другой, и, следовательно, каждое ребро в этой сумме
представлено двумя слагаемыми:
и
.
Условие сохранения означает, что дивергенция потока в каждой внутренней
вершине должна быть равна . Поэтому из равенства (1) следует,
что для
потока
![\mathop{\rm div}\nolimits_{f} (s)+ \mathop{\rm
div}\nolimits_{f}(t)=\suml_{e\in E^{-} (s)}f(e)-\suml_{e\in E^{+}
(t)}f(e) =0.](/sites/default/files/tex_cache/b22e0cd021255cfa9a72d2815cc5f641.png)
Величина
![M(f)=\mathop{\rm div}\nolimits_{f} (s)=\suml_{e\in E^{-}(s)}f(e)](/sites/default/files/tex_cache/d4abbaa562841b58a5f82a0fae40e491.png)
называется величиной
потока. В примере на рис. 16.1 . Задача о максимальном
потоке состоит в том,
чтобы для данной сети найти поток наибольшей величины.