НОУ ИНТУИТ | Графы и алгоритмы. Лекция 6: Блоки

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 27.09.2006 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

|

Вам нравится? Нравится 42 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Блоки. Двусвязность. Блоки и BC-дерево. Выявление блоков.

Ключевые слова: граф, компонента связности, Связный граф, представление, двусвязный, подграф, шарниров, определение, алгоритм, поиск в глубину, циклически связан, удаление вершины, отношение, ребро, граф отношения, внутренняя вершина, класс, блок, изолированная вершина, дерево блоков и шарниров, ВС-дерево, вершина, DFS, обход графа, DFS-дерево, глубинный номер, переменная, счетчик, множество вершин, вершины графа, множества, равенство, доказательство, стек, потомок, Выявление блока

Блоки

Если граф состоит из нескольких компонент связности, то его можно изучать "по частям", и это может упростить описание графа и облегчить решение многих задач. Однако и связный граф иногда можно представить как состоящий из частей, и такое представление также может быть полезным. После компонент связности простейшими частями такого рода являются блоки (называемые также компонентами двусвязности). Блок - это максимальный подграф графа, не имеющий собственных шарниров (т.е. некоторые шарниры графа могут принадлежать блоку, но своих шарниров у блока нет). На рис. 6.1 изображены граф и его блоки $B_{1} -B_{5}$ . Ниже будет дано другое определение блока, из которого ясно, почему блоки называют компонентами двусвязности. Затем будут рассмотрены некоторые свойства блоков и описан алгоритм выявления блоков, основанный на поиске в глубину.

Рис. 6.1.

Двусвязность

Связный граф с не менее чем тремя вершинами, в котором нет шарниров, называется двусвязным. Примеры двусвязных графов - цикл C_n и полный граф K_n , $n \ge 3$ цепь же P_n не является двусвязным графом ни при каком .

Будем говорить, что два элемента графа (напомним, что элементы графа - это вершины и ребра) циклически связаны, если в графе имеется простой цикл, содержащий оба эти элемента.

Теорема 1. В двусвязном графе любые два различных элемента циклически связаны. Если в графе любые два ребра циклически связаны, то он двусвязен.

Доказательство. Докажем сначала, что в двусвязном графе для любых двух различных вершин и имеется простой цикл, проходящий через обе эти вершины. Доказательство проводим индукцией по расстоянию между и . Если d(a,b)=1 , то и смежны. Ребро (a,b) не является перешейком (иначе хотя бы одна из вершин , была бы шарниром). Но тогда в графе имеется простой цикл, проходящий через это ребро. Пусть d(a,b)>1 . Рассмотрим кратчайший путь из в , и пусть - предпоследняя вершина этого пути. Тогда d(a,x) = d(a,b)-1 и, по предположению индукции, существует простой цикл , содержащий вершины и . Так как вершина - не шарнир, то существует простой путь из в , не проходящий через . Пусть - первая вершина этого пути, принадлежащая (такая существует, так как $a \in C$ . Тогда отрезок пути от до вместе с отрезком цикла от до , содержащим вершину , и с ребром (x,b) образует простой цикл, содержащий обе вершины и (показан стрелками на рис. 6.2).

Рис. 6.2.

Теперь покажем, что для любой вершины и любого ребра (x,y) двусвязного графа в нем имеется цикл, содержащий эту вершину и это ребро. Как доказано выше, существует простой цикл C_1 , содержащий вершины и . Если этот цикл проходит и через , то, заменив в нем отрезок от до , не содержащий , ребром (x,y) , получим простой цикл, проходящий через вершину и ребро (x,y) . В противном случае возьмем цикл C_2 , содержащий вершины и . Кратчайший отрезок этого цикла, соединяющий с какой-либо вершиной на C_1 , вместе с отрезком цикла C_1 от до , содержащим вершину , и с ребром (x,y) образует простой цикл, содержащий это ребро и вершину .

Доказательство того, что в двусвязном графе через любые два ребра проходит простой цикл, почти в точности повторяет предыдущее, только вместо вершины нужно рассматривать ребро (a,b) .

Остается доказать, что если в графе через любые два различных элемента проходит простой цикл, то этот граф - двусвязный. Действительно, допустим, что вершина - шарнир графа . Возьмем вершины и , смежные с и принадлежащие разным компонентам связности графа, получающегося при удалении вершины . Тогда в не существует цикла, содержащего оба ребра (a,x) и (a,y) .

Из этой теоремы следует, что свойство двусвязности можно охарактеризовать следующим образом:

Следствие. Граф с не менее чем двумя ребрами двусвязен тогда и только тогда, когда в нем любые два различных ребра циклически связаны.

Рассмотрим подробнее отношение циклической связанности ребер. Оно, очевидно, симметрично. Будем считать, что каждое ребро циклически связано с самим собой, тогда это отношение будет и рефлексивным. Докажем, что оно на самом деле является отношением эквивалентности.

Теорема 2. Для любого графа отношение циклической связанности ребер является отношением эквивалентности.

Доказательство. Остается доказать транзитивность этого отношения. Пусть $C_{1}$ - простой цикл, содержащий ребра $e_{1}$ и $e_{2}$ , а $C_{2}$ - простой цикл, содержащий ребра $e_{2}$ и $e_{3}$ ; покажем, что существует простой цикл, содержащий ребра $e_{1}$ и $e_{3}$ . Если $e_{1}$ принадлежит $C_{2}$ , то последний и является этим циклом. Если же $e_{1}$ не принадлежит $C_{2}$ , то в $C_{1}$ есть отрезок $P_{1}$ , включающий $e_{1}$ , у которого концевые вершины и принадлежат $C_{2}$ , а все внутренние вершины не принадлежат $C_{2}$ . Пусть $P_{2}$ - отрезок цикла $C_{2}$ , концами которого являются и и который включает ребро $e_{3}$ . Соединение $P_{1}$ и $P_{2}$ дает простой цикл, содержащий $e_{1}$ и $e_{3}$ .

Итак, множество ребер любого графа разбивается на классы эквивалентности по отношению циклической связанности. Каждый перешеек образует отдельный класс эквивалентности. Если граф двусвязен, то имеется единственный класс циклической связанности.

Дальше >>

Графы и алгоритмы

Графы и алгоритмы

Блоки

Блоки

Двусвязность

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Графы и алгоритмы

Графы и алгоритмы

Блоки

Блоки

Двусвязность

Вопросы и ответы

Студенты