Пространство циклов графа

Пространство подграфов

Зафиксируем некоторое множество и рассмотрим множество всех графов с множеством вершин . Буквой будем обозначать пустой граф из этого множества: .

Для графов и из определим их сумму по модулю (в дальнейшем в этом разделе будем называть ее просто суммой) как граф где обозначает симметрическую разность множеств и . Иначе говоря, ребро принадлежит графу тогда и только тогда, когда оно принадлежит в точности одному из графов и . Пример показан на рис. 7.1.

Рис. 7.1.

Следующие свойства введенной операции очевидны или легко проверяются.

1. Коммутативность: для любых и .
2. Ассоциативность: для любых .
3. .
4. .

Отсюда следует, что множество относительно операции образует абелеву группу. Нейтральным элементом ("нулем") этой группы служит граф , а противоположным к каждому графу является сам этот граф. Уравнение с неизвестным и заданными графами и имеет единственное решение . Благодаря свойству ассоциативности мы можем образовывать выражения вида , не используя скобок для указания порядка действий. Легко понять, что ребро принадлежит графу тогда и только тогда, когда оно принадлежит нечетному количеству из графов .

Рассмотрим множество из двух элементов . Оно является полем относительно операций умножения и сложения по модулю 2. Определим операцию умножения элементов этого поля на графы: , для любого графа . Множество с введенными операциями сложения графов и умножения на элементы поля является линейным векторным пространством.

Зафиксируем некоторый граф и рассмотрим множество всех его остовных подграфов, которое будем обозначать . Это множество состоит из элементов, среди них сам граф и граф . Оно замкнуто относительно сложения графов и умножения на элементы поля, следовательно, является подпространством пространства . Его называют пространством подграфов графа .

Любой граф из может быть выражен как сумма однореберных подграфов. Всего у графа имеется однореберных подграфов и они, очевидно, линейно независимы. Следовательно, однореберные подграфы образуют базис пространства , а размерность этого пространства равна .

В пространстве можно очень естественным способом ввести координаты. Занумеруем ребра графа : . Теперь остовному подграфу можно поставить в соответствие характеристический вектор его множества ребер:

Получаем взаимно однозначное соответствие между множеством и множеством всех двоичных векторов с координатами. Сумме графов соответствует векторная (покоординатная) сумма по модулю 2 их характеристических векторов.