Скажите, пожалуйста, можно ли еще получить документ о прохождении курса ("Графы и алгоритмы", декабрь 2020) после предоставления всех дополнительных необходимых документов? |
Важнейшие классы графов
Деревья
Деревом называется связный граф, не имеющий циклов. В графе без циклов, таким образом, каждая компонента связности является деревом. Такой граф называют лесом.
Из теоремы 2
"Маршруты, связность, расстояния"
следует, что во всяком дереве, в котором не
меньше двух вершин, имеется вершина степени 1. Такие вершины называют висячими вершинами, или листьями. В действительности
легко
доказать, что в каждом дереве не меньше двух листьев, а цепь -
пример дерева, в котором точно два листа.
В следующих двух теоремах устанавливаются некоторые свойства деревьев.
Теорема 1. Граф с вершинами и
ребрами является деревом
тогда
и только тогда, когда он
удовлетворяет любым двум из следующих трех условий:
- (1) связен;
- (2) не имеет циклов;
- (3)
.
Доказательство.
Первые два условия вместе составляют определение дерева. Покажем, что выполнение любых двух из условий (1)-(3) влечет за собой выполнение третьего.
(1) и (2) (3). Индукция по числу вершин. При
утверждение очевидно. При
в дереве имеется хотя бы один
лист.
Если из дерева удалить лист, то снова получится дерево, так как циклов не
появится, а связность, очевидно, сохранится. В этом новом дереве
вершин и, по предположению индукции,
ребра. Следовательно,
в исходном дереве было
ребро.
(2) и (3) (1). Пусть в графе, не имеющем циклов,
ребро, а его компонентами связности являются
,
причем
состоит из
вершин,
.
Каждая компонента является деревом, поэтому, как доказано выше, число
ребер в
равно
, а всего ребер в
графе
.
Значит,
и граф связен.
(1) и (3) (2). Рассмотрим связный граф
с
ребром.
Если бы в нем был цикл, то, удалив любое цикловое ребро, мы получили бы
связный граф с меньшим числом ребер. Можно продолжать такое удаление ребер
до тех пор, пока не останется связный граф без циклов, то есть дерево.
Но ребер в этом дереве было бы меньше, чем
, а это противоречит
доказанному выше.
Теорема 2. Если - дерево, то
- в
любая пара вершин соединена единственным путем;
- при добавлении к
любого нового ребра образуется цикл;
- при удалении из
любого ребра он превращается в несвязный граф.
Доказательство.
Существование пути между любыми двумя вершинами
следует из связности дерева. Допустим, что в некотором дереве существуют
два различных пути, соединяющих вершины и
.
Начальные отрезки этих путей совпадают (оба пути начинаются в одной и той
же вершине
). Пусть
- последняя вершина
этого совпадающего
начала, а после
в одном пути следует
вершина
,
а в другом - вершина
. Рассмотрим ребро
.
Если его удалить из графа, то в оставшемся подграфе вершины
и
будут соединимыми - соединяющий их маршрут можно
построить так:
взять отрезок первого пути от
до
и к нему
присоединить
отрезок второго от
до
, взятый в обратном
порядке. Но это
означает, что ребро
не является перешейком.
Однако из теоремы 4
"Маршруты, связность, расстояния"
следует, что в дереве каждое ребро
является перешейком. Этим доказано утверждение 1). Утверждения 2) и 3)
следуют из 1).
Отметим, что единственный путь, соединяющий две вершины дерева, всегда простой (если путь не является простым, в нем обязательно содержится цикл).