НОУ ИНТУИТ | Графы и алгоритмы. Лекция 3: Важнейшие классы графов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 27.09.2006 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

|

Вам нравится? Нравится 42 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Планарные графы

Геометрический граф - это плоская фигура, состоящая из вершин - точек плоскости и ребер - линий, соединяющих некоторые пары вершин. Всякий граф можно многими способами представить геометрическим графом, и мы уже не раз пользовались этой возможностью. На рис. 3.6 показаны два геометрических графа $\Gamma_{1}$ и $\Gamma _{2}$ , представляющих, как нетрудно проверить, один и тот же обыкновенный граф. Простое устройство этого графа, очевидное на изображении слева, не так легко обнаружить, рассматривая изображение справа. Главная причина этого в том, что в $\Gamma_{1}$ ребра не имеют "лишних" пересечений.

Рис. 3.6.

Геометрический граф, в котором никакие два ребра не имеют общих точек, кроме инцидентной им обоим вершины, называют плоским графом, а по отношению к представляемому им обыкновенному графу - его плоской укладкой. Не каждый граф допускает плоскую укладку. Граф, для которого существует плоская укладка, называется планарным графом. Кроме удобства визуального анализа, есть немало поводов, в том числе и сугубо практических, для интереса к планарным графам и их плоским укладкам.

Если плоскость разрезать по ребрам плоского графа, она распадется на связные части, которые называют гранями. Всегда имеется одна неограниченная внешняя грань, все остальные грани называются внутренними. Если в плоском графе нет циклов, то у него имеется только одна грань. Если же циклы есть, то граница каждой грани содержит цикл, но не обязательно является циклом. На рис. 3.7 показан плоский граф с пятью занумерованными гранями. Граница грани с номером 3 состоит из двух циклов, а граница грани с номером 2 кроме цикла длины 5 включает еще дерево из трех ребер.

Рис. 3.7.

Множества ребер, образующие границы граней, могут быть разными для разных плоских укладок одного и того же графа. На рис. 3.8 показаны две плоские укладки одного графа. В левой укладке есть две грани, границы которых являются простыми циклами длины 5. В правой укладке таких граней нет, но есть грани, ограниченные циклами длины 4 и 6. Однако число граней, как показывает следующая теорема, не зависит от укладки, т.е. является инвариантом планарного графа.

Рис. 3.8.

Теорема 6 (формула Эйлера). Количество граней в любой плоской укладке планарного графа, имеющего вершин, ребер и компонент связности, равно m-n+k+1 .

Доказательство.

Докажем сначала утверждение теоремы при k=1 . Рассмотрим связный плоский граф . Если в нем нет циклов, то имеется единственная грань, а m=n-1 , и формула верна. Если же есть хотя бы один цикл, то возьмем какое-нибудь ребро , принадлежащее простому циклу . Это ребро принадлежит границе двух граней, одна из которых целиком лежит внутри цикла , другая - снаружи. Если удалить ребро из графа, эти две грани сольются в одну. Граф $G_{1}$ , полученный из графа удалением ребра , очевидно, будет плоским и связным, в нем на одно ребро и на одну грань меньше, чем в , а число вершин осталось прежним. Если в $G_{1}$ еще есть циклы, то, удалив еще одно цикловое ребро, получим граф $G_{2}$ . Будем продолжать удаление цикловых ребер до тех пор, пока не получится связный плоский граф $G_{r}$ без циклов, т.е. дерево. У него n-1 ребро и единственная грань. Значит, всего было удалено r=m-n+1 ребер, а так как при удалении каждого ребра число граней уменьшалось на единицу, то в исходном графе было m-n+2 грани. Таким образом, формула верна для любого связного плоского графа. Если граф несвязен, то в компоненте связности, имеющей $n_{i}$ вершин и $m_{i}$ ребер, как доказано выше, будет $m_{i}-n_{i}+1$ внутренняя грань. Суммируя по всем компонентам и прибавляя 1 для учета внешней грани, убеждаемся в справедливости формулы в общем случае.

Следствие 1. Если в планарном графе вершин, $n\ge 3$ , и ребер, то $m\le 3(n-2)$ .

Доказательство.

Если в графе нет циклов, то m=n-k и неравенство выполняется при $n\ge 3$ . Рассмотрим плоский граф с гранями, в котором имеются циклы. Занумеруем грани числами от до и обозначим через $a_{i}$ количество ребер, принадлежащих грани с номером . Так как граница каждой грани содержит цикл, то $a_{i} \ge 3$ для каждого , следовательно, $\sum _{i=1}^{r}a_{i} \ge 3r$ . С другой стороны, каждое ребро принадлежит границе не более чем двух граней, поэтому $\sum_{i=1}^{r}a_{i} \le 2m$ . Из этих двух неравенств следует, что $3r\le 2m$ . Применяя формулу Эйлера, получаем $m\le 3n-3k-3\le 3n-6$ .

Следствие 1 дает необходимое условие планарности, которое в некоторых случаях позволяет установить, что граф не является планарным. Рассмотрим, например, полный граф $K_{5}$ . У него n=5 , m=10 , и мы видим, что неравенство из следствия 1 не выполняется. Значит, этот граф непланарен. В то же время существуют графы, не являющиеся планарными, для которых неравенство следствия 1 выполняется. Пример - полный двудольный граф $K_{3,3}$ . У него 6 вершин и 9 ребер. Неравенство выполняется, но мы сейчас установим, что он непланарен. Заметим, что в этом графе нет циклов длины 3 (так как он двудольный, в нем вообще нет циклов нечетной длины). Поэтому граница каждой грани содержит не менее четырех ребер. Повторяя рассуждения из доказательства следствия 1, но используя неравенство $a_{i} \ge 4$ вместо $a_{i} \ge 3$ , получаем следующий результат:

Следствие 2. Если в планарном графе вершин, $n\ge 3$ , ребер и нет циклов длины , то $m\le 2(n-2)$ .

Для графа $K_{3,3}$ неравенство следствия 2 не выполняется, и это доказывает, что он непланарен.

Известно несколько критериев планарности, сформулируем без доказательства два из них. Два графа называют гомеоморфными,если из них с помощью подразбиения ребер можно получить изоморфные графы. На рис. 3.9 изображены гомеоморфные графы.

Рис. 3.9.

Сформулируем без доказательства два критерия планарности.

Теорема 7 (критерий Понтрягина-Куратовского). Граф планарен тогда и только тогда, когда у него нет подграфов, гомеоморфных $K_{5}$ или $K_{3,3}$ .

Граф называется стягиваемым к графу , если можно получить из последовательностью операций стягивания ребер.

Теорема 8 (критерий Вагнера). Граф планарен тогда и только тогда, когда у него нет подграфов, стягиваемых к $K_{5}$ или $K_{3,3}$ .

Отметим, что, несмотря на внешнее сходство двух теорем, фигурирующие в них понятия гомеоморфизма и стягиваемости существенно различаются. На рис. 3.10 изображен граф, который называют графом Петерсена. В нем нет подграфа, гомеоморфного $K_{5}$ , так как в графе $K_{5}$ каждая вершина имеет степень , а в графе Петерсена степень каждой вершины равна . При удалении вершин и ребер и подразбиении ребер степени вершин не увеличиваются. В то же время легко видеть, что граф Петерсена можно превратить в $K_{5}$ стягиванием пяти ребер.