Важнейшие классы графов

Двудольные графы

Граф называется двудольным, если множество его вершин можно так разбить на два подмножества, чтобы концы каждого ребра принадлежали разным подмножествам. Эти подмножества называются долями. Таким образом, каждая из долей порождает пустой подграф. Примером двудольного графа является простая цепь при любом : одна доля порождается вершинами с четными номерами, другая - с нечетными. Граф - пример графа, не являющегося двудольным: при любом разбиении множества его вершин на два подмножества в одном из этих подмножеств окажутся две смежных вершины.

Прикладное значение понятия двудольного графа связано с тем, что с помощью таких графов моделируются отношения между объектами двух типов, а такие отношения часто встречаются на практике (например, отношение "продукт используется в производстве изделия " между исходными продуктами и готовыми изделиями, или "работник владеет профессией " между работниками и профессиями). В математике такие отношения тоже нередки, один из наиболее распространенных их видов - отношения инцидентности. Пусть - множество, а - семейство его подмножеств. Элемент и множество инцидентны друг другу, если . Отношение инцидентности можно описать с помощью двудольного графа , в котором , . На рис. 3.3 показан граф отношения инцидентности для , , где , , , .

Рис. 3.3.

Вообще говоря, разбиение множества вершин двудольного графа на доли можно осуществить не единственным способом. Так, в графе из только что приведенного примера можно взять в качестве долей множества и . В то же время в самом определении этого графа уже заложено "естественное" разбиение на доли и . Двудольные графы, возникающие в приложениях, нередко бывают заданы именно так - с множеством вершин, изначально состоящим из двух частей, и с множеством ребер, каждое из которых соединяет вершины из разных частей.

Если разбиение на доли не задано, то может возникнуть вопрос, существует ли оно вообще, т.е. является ли данный граф двудольным? Если в графе вершин, то имеется разбиений множества вершин на два подмножества и непосредственная проверка всех этих разбиений будет очень трудоемким делом. Следующая теорема дает критерий двудольности, а из ее доказательства можно извлечь и эффективный алгоритм проверки двудольности. Подробно такой алгоритм будет описан в "Поиск в ширину" .

Пусть - цикл в графе . Множество вершин цикла порождает в подграф, который содержит все ребра этого цикла, но может содержать и ребра, ему не принадлежащие. Такие ребра называют хордами цикла . Простой цикл, не имеющий хорд, - это порожденный простой цикл. В графе, изображенном на рис. 3.4, хордами цикла являются ребра , и , а цикл - порожденный простой цикл. Заметим, что любой цикл длины является порожденным простым циклом.

Рис. 3.4.

Рис. 3.5.

Пусть - простой цикл длины в некотором графе, - хорда этого цикла. Ребро вместе с ребрами цикла образует два цикла меньшей длины, и (см. рис. 3.5), сумма длин которых равна .

Значит, если - цикл нечетной длины, то один из циклов , тоже имеет нечетную длину. Отсюда следует, что в графе, в котором есть цикл нечетной длины, имеется и порожденный простой цикл нечетной длины. Поэтому критерий двудольности справедлив и в следующей формулировке.

Следствие.Граф является двудольным тогда и только тогда, когда в нем нет порожденных простых циклов нечетной длины.