НОУ ИНТУИТ | Графы и алгоритмы. Лекция 16: Потоки

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 27.09.2006 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

|

Вам нравится? Нравится 42 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Введем некоторые вспомогательные понятия и установим два полезных соотношения. Пусть $X\subseteq V$ , $\overline{X}=V-X$ . Множество всех ребер, у которых начальная вершина принадлежит , а концевая - $\overline{X}$ , обозначим через $(X,\overline{X})$ . Пропускной способностью множества $(X,\overline{X})$ называется сумма пропускных способностей всех его ребер, она обозначается через c(X) . Если - поток, то для каждого множества $X\subseteq V$ можно определить величину $f(X)=\suml_{e\in (X,\bar{X})}f(e)$ . Очевидно, для любого множества и любого потока выполняется неравенство $f(X)\le c(X)$ . Множество $(X,\overline{X})$ называется разрезом, если $s\in X$ , $t\in \overline{X}$ .

Лемма 1. Для любого потока и любого разреза $(X,\overline{X})$ выполняется равенство $M(f)=f(X)-f(\overline{X})$ .

Доказательство. Рассмотрим величину $S=\suml_{x\in X}\mathop{\rm div}\nolimits_{f} (x)$ . Так как дивергенция во внутренних вершинах равна нулю, то эта сумма равна дивергенции источника, то есть величине потока M(f) . С другой стороны, рассмотрим вклад, вносимый в эту сумму некоторым ребром e=(x,y) . Он зависит от того, в каком отношении к множеству находится это ребро:

если $e\in (X,\overline{X})$ , то в сумму входит слагаемое $\mathop{\rm div}\nolimits_{f}(x)$ , которое, в свою очередь, является суммой и содержит слагаемое со знаком плюс; это единственное в данном случае вхождение в , так что вклад ребра равен ;
если $e\in (\overline{X},X)$ , то в входит слагаемое $\mathop{\rm div}\nolimits_{f} (y)$ , которое, в свою очередь, содержит слагаемое со знаком минус; вклад ребра в этом случае равен ;
если ребро соединяет две вершины из , то в сумме присутствуют оба слагаемых и и суммарный вклад такого ребра равен нулю;
ребро, соединяющее две вершины из $\overline{X}$ , в сумме вообще не представлено.