НОУ ИНТУИТ | Графы и алгоритмы. Лекция 12: Паросочетания

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 27.09.2006 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

|

Вам нравится? Нравится 42 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Паросочетания в двудольных графах

Пусть G=(A,B,E) - двудольный граф c долями и , - паросочетание в . Всякий увеличивающий путь, если такой имеется, соединяет вершину из множества с вершиной из множества .

Зафиксируем некоторую свободную вершину $a\in A$ . Мы хотим найти увеличивающий путь, начинающийся в , либо убедиться в том, что таких путей нет. Оказывается, нет необходимости рассматривать все чередующиеся пути, начинающиеся в вершине , для того, чтобы установить, какие вершины достижимы из вершины чередующимися путями.

Вершину назовем четной или нечетной в зависимости от того, четно или нечетно расстояние между нею и вершиной . Поскольку граф двудольный, любой путь, соединяющий вершину с четной (нечетной) вершиной, имеет четную (нечетную) длину. Поэтому в чередующемся пути, ведущем из вершины в четную (нечетную) вершину, последнее ребро обязательно сильное (слабое).

Определим дерево достижимости как максимальное дерево с корнем , в котором каждый путь, начинающийся в корне, является чередующимся. Дерево достижимости определено не однозначно, но любое такое дерево в двудольном графе обладает следующим свойством:

Лемма 1. Вершина принадлежит дереву достижимости тогда и только тогда, когда существует чередующийся путь, соединяющий вершины и .

Доказательство. Рассмотрим некоторое дерево достижимости и докажем, что всякая вершина , достижимая из вершины чередующимся путем, принадлежит этому дереву. Проведем индукцию по длине кратчайшего чередующегося пути из в . Пусть - предпоследняя (т.е. предшествующая ) вершина такого пути. По предположению индукции, вершина принадлежит дереву . Если она четная, то любой чередующийся путь из вершины в вершину заканчивается сильным ребром. Следовательно, в дереве вершину c ее отцом соединяет сильное ребро, а ребро (x,y) - слабое. Поэтому, если добавить к дереву вершину и ребро (x,y) , то путь в дереве, соединяющий с , будет чередующимся. Значит, если предположить, что дерево не содержит вершины , то окажется, что оно не максимально, а это противоречит определению. Аналогично рассматривается случай, когда вершина - нечетная.

Итак, для решения задачи остается научиться строить дерево достижимости. Для этого можно использовать слегка модифицированный поиск в ширину из вершины . Отличие от стандартного поиска в ширину состоит в том, что открываемые вершины делятся на четные и нечетные. Для четных вершин исследуются инцидентные им слабые ребра, а для нечетных - сильные. Через V(x) , как обычно, обозначается множество вершин, смежных с вершиной , - очередь, используемая при поиске в ширину. Если вершина не является свободной, т.е. инцидентна некоторому сильному ребру, то другая вершина этого ребра обозначается через p(x) .