Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? |
Алгоритмы вычисления размерностных многочленов
13.16. ПРИМЕР. Вычислим многочлен Гильберта матрицы
![E=\left( \smallmatrix 1 &
0 & 0 & 1 \\
r-2 & 0 & 1 & 0 \\
r-3 & 0 & 2 & 0 \\[-6pt]
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
i & 0 & r-i-1 & 0 \\[-6pt]
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
1 & 0 & r-2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & r-2\endsmallmatrix\right)](/sites/default/files/tex_cache/134f2e6dc954d967063901c2a63a49c8.png)



![E_1=\left(
\smallmatrix
r-2 & 0 & 1 \\
r-3 & 0 & 2 \\[-6pt] \vdots & \vdots & \vdots \\
1 & 0 & r-2\endsmallmatrix\right),H=\left( \smallmatrix 1
& 0 & 0 & 0 \\
r-2 & 0 & 1 & 0 \\
r-3 & 0 & 2 & 0 \\[-6pt] \vdots & \vdots & \vdots &
\vdots \\
i & 0 & r-i-1 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots
\\
1 & 0 & r-2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &
r-3\endsmallmatrix\right).](/sites/default/files/tex_cache/071611ef8c64b242a71dbab617fb01c9.png)




![H_1=\left( \smallmatrix r-3 & 0 & 0 \\ r-4 & 0 & 1
\\[-6pt] \vdots & \vdots & \vdots
\\ 1 & 0 & r-4 \\ 0 & 0 & r-3\endsmallmatrix\right),](/sites/default/files/tex_cache/793bce1630a03e418c45c6db972a237b.png)
![\begin{align*}
\omega_{H_1}(t-2) &=
\sum_{i=1}^{r-3}\Delta_1\Delta^{-1}\omega_{(r-2-i,0)}(t-2-(i-1))\\
&=\sum_{i=1}^{r-3}\omega_{(r-2-i,0)}(t-i-1)\\
&=\sum_{i=1}^{r-3}\left[\binom {t-i-1+2}2 -\binom {t-i-1+2-(r-2-i)}2\right]\\
&=\sum_{i=1}^{r-3}\left[\binom {t-i+1}2 -\binom {t+3-r}2\right]\\
&= \frac{(r-3)(r-2)}2 t - \frac{(r-2)(r-3)(2r-5)}6.
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/1e06a177fbb037592fa71e0df650b7fa.png)


Рассмотрим задачу вычисления старшего коэффициента многочлена Гильберта. Пусть
![]() |
( 13.13) |




13.17. ЛЕММА. Пусть —
-матрица над
, такая, что
и первый столбец
матрицы
нулевой. Пусть
— многочлен Гильберта
матрицы
и
. Далее,
пусть
—
-матрица, полученная
из
удалением первого (нулевого) столбца. Тогда
и
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Применяя (12.2) к и
,
получим, что
. Значит,
если
![$\omega_E(t) =\sum_{i=0}^\tau a_i(E) \binom {t+i}i,$
то
\begin{align*}
\omega_{E_1}(t)&=\sum_{i=0}^\tau a_i(E_1) \binom {t+i}i
=\sum_{i=0}^\tau a_i(E) \left[ \binom {t+i}i- \binom {t+i-1}i\right]\\
&= \sum_{i=0}^{\tau-1} a_{i+1}(E) \binom {t+i}i,
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/f976a6c81c5a67de16c8bfaed61f49e4.png)





Отметим, что если для -матрицы
степень многочлена Гильберта
меньше или
равна
,
, то
![]() |
( 13.14) |








Прежде чем вычислять коэффициент многочлена Гильберта
(13.13), заметим, что, без потери общности, можно предполагать,
что
. Действительно, применяя (12.2)
к
и
,получаем, что





![\begin{align*}
\omega_E(t) ={}&\sum_{i=0}^{|\textbf{e}|-1} \binom {t+m-1-i}{m-1} +
\omega_{E'}(t-|\textbf{e}|) \\
={}& \smu{2} |\textbf{e}|\binom {t+m-1}{m-1}\!-\!\sum_{i=1}^{|\textbf{e}|-1} \left[\!\binom
{t+m-1}{m-1}\!-\!\binom {t+m-1-i}{m- 1}\!\right]
+\omega_{E'}(t-|\textbf{e}|) \\
={}& |\textbf{e}|\binom {t+m-1}{m-1} - \sum_{i=1}^{|\textbf{e}|-1} \sum_{k=0}^{i-1}
\binom {t+m-1-i+k}{m-2} + \omega_{E'}(t-|\textbf{e}|) \\
={}&|\textbf{e}|\binom {t+m-1}{m-1} - \frac {|\textbf{e}|(|\textbf{e}|-1)}2 \binom
{t+m-2}{m-2} +o(t^{m-2})+ \omega_{E'}(t-|\textbf{e}|).
\end{align*}}](/sites/default/files/tex_cache/2a0b3d5d78fbeefc0252b22612165169.png)
Поскольку (см. лемму 13.12), имеем
, следовательно, можно
вместо
вычислять
, поэтому в
дальнейших рассуждениях
предполагаем, что
и
, где
. Кроме того,
предполагаем, что
содержит не более двух ненулевых столбцов
(следует
отметить, что если в
имеется единственный ненулевой столбец, то
многочлен
Гильберта
совпадает с минимальным элементом этого
столбца).
Предполагая, что первый столбец матрицы
ненулевой, упорядочим его
элементы
и применим (13.14) при
. Поскольку число столбцов
в
(см.
(13.14)) равно
,
вычисление
можно свести к выбору
минимальных элементов в столбцах матрицы
(см.
теорему 12.8(3)). Легко видеть,
что такой выбор требует
элементарных операций,
где
— число строк матрицы
. Применяя
(13.14) к
, сводим вычисление
(в
правой части формулы
(13.14)) к вычислению коэффициента
многочлена
Гильберта
некоторой матрицы
, содержащей
столбец (эта
матрица получена
добавлением некоторых дополнительных строк к
). Чтобы
вычислить
, нужно не
более
элементарных операций
(здесь
обозначает число строк матрицы
).
Продолжаем применять (13.14),
пока не получим матрицу с нулевым первым столбцом. По лемме 13.17
такой столбец можно отбросить, затем применяем (13.14) к новой матрице
и т. д.
Асимптотическая сложность описанного алгоритма не
превосходит
![\begin{multiline*}
n\log
n+\hskip-10pt\smash[t]{\sum\limits^k_{\substack{i=1\\b_i\in\mathbb N\\b_1+\dots+b_k=n}}}\hskip-10pt b_im+g(n,m-1)\\
\leq2n\log n+n(m+m-1)+g(n,m-2)\leq \dots\\
\leq(m-1)n\log n+n(m+(m-1)+\dots+2)+g(n,1)\\
=(m-1)n\log n+n\binom{m+1}2\sim mn\log n.
\end{multiline*}](/sites/default/files/tex_cache/eb15873289d506d9c0fbfdef317ae002.png)

Теперь, пользуясь алгоритмом A14 и формулой (13.14), можно
найти старший коэффициент многочлена Гильберта для любой матрицы.
Сложность вычисления этого коэффициента для
матрицы
, такой, что
, не превосходит




Завершая изложение теории размерностных многочленов, следует упомянуть размерностные многочлены от многих переменных, теория которых была заложена в статье [ 19 ] и подробно изложена в монографии [ 20 ] .