НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 6: Алгоритмы вычисления размерностных многочленов

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

13.16. ПРИМЕР. Вычислим многочлен Гильберта матрицы

$E=\left( \smallmatrix 1 & 0 & 0 & 1 \\ r-2 & 0 & 1 & 0 \\ r-3 & 0 & 2 & 0 \\[-6pt] \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ i & 0 & r-i-1 & 0 \\[-6pt] \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & 0 & r-2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & r-2\endsmallmatrix\right)$

$(r\in \mathbb N,\ r\geq 3)$ при помощи алгоритма A13. В процессе вычислений последовательно применяем (13.8), начиная с последнего столбца матрицы

. Прежде всего запишем

$\omega_E(t) = \Delta_1\Delta^{-1}\omega_{E_1}(t) + \omega_H(t-1) = \omega_{E_1}(t) + \omega_H(t-1),$

где

$E_1=\left( \smallmatrix r-2 & 0 & 1 \\ r-3 & 0 & 2 \\[-6pt] \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & 0 & r-2\endsmallmatrix\right),H=\left( \smallmatrix 1 & 0 & 0 & 0 \\ r-2 & 0 & 1 & 0 \\ r-3 & 0 & 2 & 0 \\[-6pt] \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ i & 0 & r-i-1 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & 0 & r-2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & r-3\endsmallmatrix\right).$

По теореме 12.8(8) имеем

$\begin{align*} \omega_H(t-1)&= \omega_{(1,0,r-3)}(t-1) =\binom{t-1+3}3-\binom{t-1+3-(r-2)}3\\ &= \binom {t+2}3 - \binom {t+4-r}3. \end{align*}$

Применяя (12.2) к E_1

, получаем $\omega_{E_1}(t)=\omega_{(1,0,1)}(t)+ \omega_{H_1}(t-2)$ , где

$H_1=\left( \smallmatrix r-3 & 0 & 0 \\ r-4 & 0 & 1 \\[-6pt] \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & 0 & r-4 \\ 0 & 0 & r-3\endsmallmatrix\right),$

так что из формулы (13.10) следует, что

$\begin{align*} \omega_{H_1}(t-2) &= \sum_{i=1}^{r-3}\Delta_1\Delta^{-1}\omega_{(r-2-i,0)}(t-2-(i-1))\\ &=\sum_{i=1}^{r-3}\omega_{(r-2-i,0)}(t-i-1)\\ &=\sum_{i=1}^{r-3}\left[\binom {t-i-1+2}2 -\binom {t-i-1+2-(r-2-i)}2\right]\\ &=\sum_{i=1}^{r-3}\left[\binom {t-i+1}2 -\binom {t+3-r}2\right]\\ &= \frac{(r-3)(r-2)}2 t - \frac{(r-2)(r-3)(2r-5)}6. \end{align*}$

Поэтому,

$\begin{align*} \omega_{E_1}(t)={}&\binom{t+3}3-\binom{t+3-2}3+\frac{(r-3)(r-2)}2t -\frac{(r-2)(r-3)(2r-5)}6 \\ ={}&(t+1)^2 + \frac{(r-3)(r-2)}2 t -\frac{(r-2)(r-3)(2r-5)}6, \end{align*}}$

следовательно,

$\begin{align*} \omega_E(t)={}&\binom {t+2}3 - \binom {t+4-r}3 + (t+1)^2\\ &+\frac{(r-3)(r-2)}2 t-\frac{(r-2)(r-3)(2r-5)}6 \\ ={}&\frac r2t^2+\frac{r+2}2t-\frac{r^3-6r^2+11r-12}6. \end{align*}$

Рассмотрим задачу вычисления старшего коэффициента многочлена Гильберта. Пусть

$E = (e_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq m}}$ — $n\!\times\! m$ -матрица над $\mathbb N$ и

$\begin{equation} \omega_E(t) =\sum_{i=0}^m a_i(E)\binom {t+i}i \end{equation}$

( 13.13)

ее многочлен Гильберта. Тогда по теореме 12.8(7) имеем

$a_m(E)=\begin{cases} 1,&\text {если матрица $E$ пустая } (n=0)\\ 0,&\text {в противном случае.}\end{cases}$

Из теоремы 12.8(9) и леммы13.12 что

$a_{m-1}(E)=\begin{cases} 0,&\text {если матрица $E$ пустая,}\\ \sum_{j=1}^m\min_{1\leq i\leq n} \{ e_{ij}\} ,&\text {в противном случае.}\end{cases}$

Вычисление коэффициента $a_{m-2}(E)$ (при $m\geq 2$ ) может основываться на следующем утверждении.

13.17. ЛЕММА. Пусть $E = (e_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq m}}$ — $n\!\times\! m$ -матрица над $\mathbb N$ , такая, что m>1 и первый столбец матрицы нулевой. Пусть $\omega_E(t) =\sum\limits_{i=0}^\tau a_i(E) \binom {t+i}i$ — многочлен Гильберта матрицы и $0<\deg\omega_E\leq \tau\ (\tau\in\mathbb N_m)$ . Далее, пусть E_1 — $n\!\times\!(m-1)$ -матрица, полученная из удалением первого (нулевого) столбца. Тогда $\deg \omega_{E_1}\leq \tau-1$ и $a_\tau(E)=a_{\tau-1}(E_1)$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применяя (12.2) к и $(1,0,\dots,0) \in \mathbb N^m$ , получим, что $\omega_E(t)=\omega_{E_1}(t)+\omega_E(t-1)$ . Значит, если

$$\omega_E(t) =\sum_{i=0}^\tau a_i(E) \binom {t+i}i,$ то \begin{align*} \omega_{E_1}(t)&=\sum_{i=0}^\tau a_i(E_1) \binom {t+i}i =\sum_{i=0}^\tau a_i(E) \left[ \binom {t+i}i- \binom {t+i-1}i\right]\\ &= \sum_{i=0}^{\tau-1} a_{i+1}(E) \binom {t+i}i, \end{align*}$

следовательно, $\deg \omega_{E_1}\leq\tau-1$ и $a_i(E_1) = a_{i+1}(E)$ для всех i=0

, $1,\dots,\tau-1$ . В частности, $a_\tau(E)=a_{\tau-1}(E_1)$ .

Отметим, что если для $n\!\times\! m$ -матрицы $E = (e_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq m}}$ степень многочлена Гильберта $\omega_E(t)= \smash{\sum\limits_{i=0}^m} a_i(E) \binom {t+i}i$ меньше или равна $\tau$ $(\tau\in\mathbb N$ , $0\leq \tau\leq m)$ , то

$\begin{equation} a_\tau(E) = a_\tau(E_1) + a_\tau(E_2), \end{equation}$

( 13.14)

где $a=\min_{1\leq i\leq n}\{ e_{i1}| e_{i1}\neq0\}$ , матрица E_1

получена из

удалением первого столбца и всех строк с нулем в первом столбце, а $E_2= (e'_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq m}}$ — $n\!\times\! m$ -матрица с элементами

$e'_{ij}=\begin{cases} e_{ij}, & \text{если } j\neq 1 \\ \max\{ e_{i1}-a, 0\} ,&\text{если } j=1\end{cases} \ (1\leq i\leq n,\ 1\leq j\leq m).$

(Соотношение (13.14) легко может быть установлено применением (12.2) к

и $(a,0,\dots,0)\in\mathbb N^m$ .)

Прежде чем вычислять коэффициент $a_{m-2}(E)$ многочлена Гильберта (13.13), заметим, что, без потери общности, можно предполагать, что $\deg\omega_E\leq m-2$ . Действительно, применяя (12.2) к и $\textbf{e}=\bigl(\min\limits_{1\leq i\leq n}\{ e_{i1}\} ,\dots,\min\limits_{1\leq i\leq n}\{e_{im}\}\bigr)$ ,получаем, что

$\omega_E(t) =\binom {t+m}m - \binom {t+m- |\textbf{e}|}m + \omega_{E'}(t-|\textbf{e}|),$

где $E' = (e'_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq m}}$ — матрица с элементами $e'_{ij}=e_{ij}- \min_{1\leq i\leq n}\{ e_{ij}\}$ $(1\leq i\leq n,\ 1\leq j\leq m)$ . Пользуясь (11.4), можно переписать последнее представление $\omega_E(t)$ в виде

$\begin{align*} \omega_E(t) ={}&\sum_{i=0}^{|\textbf{e}|-1} \binom {t+m-1-i}{m-1} + \omega_{E'}(t-|\textbf{e}|) \\ ={}& \smu{2} |\textbf{e}|\binom {t+m-1}{m-1}\!-\!\sum_{i=1}^{|\textbf{e}|-1} \left[\!\binom {t+m-1}{m-1}\!-\!\binom {t+m-1-i}{m- 1}\!\right] +\omega_{E'}(t-|\textbf{e}|) \\ ={}& |\textbf{e}|\binom {t+m-1}{m-1} - \sum_{i=1}^{|\textbf{e}|-1} \sum_{k=0}^{i-1} \binom {t+m-1-i+k}{m-2} + \omega_{E'}(t-|\textbf{e}|) \\ ={}&|\textbf{e}|\binom {t+m-1}{m-1} - \frac {|\textbf{e}|(|\textbf{e}|-1)}2 \binom {t+m-2}{m-2} +o(t^{m-2})+ \omega_{E'}(t-|\textbf{e}|). \end{align*}}$

Поскольку $\deg \omega_{E'}\leq m-2$ (см. лемму 13.12), имеем $a_{m-2}(E) = a_{m-2}(E') - \frac {|\textbf{e}|(|\textbf{e}|-1)}2$ , следовательно, можно вместо $a_{m-2}(E)$ вычислять $a_{m-2}(E')$ , поэтому в дальнейших рассуждениях предполагаем, что $\deg \omega_{E'}\leq m-2$ и $\omega_E(t) =\sum\limits_{i=0}^{m-2} a_i(E)\binom {t+i}i$ , где $a_i(E) \in \Z$ $(i=0,1,\dots,m-2)$ . Кроме того, предполагаем, что содержит не более двух ненулевых столбцов (следует отметить, что если в имеется единственный ненулевой столбец, то многочлен Гильберта $\omega_E(t)$ совпадает с минимальным элементом этого столбца). Предполагая, что первый столбец матрицы ненулевой, упорядочим его элементы и применим (13.14) при $\tau=m-2$ . Поскольку число столбцов в E_1 (см. (13.14)) равно (m-1) , вычисление $a_\tau(E_1)$ можно свести к выбору минимальных элементов в столбцах матрицы E_1 (см. теорему 12.8(3)). Легко видеть, что такой выбор требует (m-1)b_1 элементарных операций, где b_1 — число строк матрицы E_1 . Применяя (13.14) к E_2 , сводим вычисление $a_\tau(E_2)$ (в правой части формулы (13.14)) к вычислению коэффициента $a_2(E_{21})$ многочлена Гильберта некоторой матрицы E_2 , содержащей (m-1) столбец (эта матрица получена добавлением некоторых дополнительных строк к E_1 ). Чтобы вычислить $a_\tau(E_{21})$ , нужно не более (m-1)b_2 элементарных операций (здесь b_2 обозначает число строк матрицы $E_{21}$ ). Продолжаем применять (13.14), пока не получим матрицу с нулевым первым столбцом. По лемме 13.17 такой столбец можно отбросить, затем применяем (13.14) к новой матрице и т. д.

Асимптотическая сложность g(n,m) описанного алгоритма не превосходит

$\begin{multiline*} n\log n+\hskip-10pt\smash[t]{\sum\limits^k_{\substack{i=1\\b_i\in\mathbb N\\b_1+\dots+b_k=n}}}\hskip-10pt b_im+g(n,m-1)\\ \leq2n\log n+n(m+m-1)+g(n,m-2)\leq \dots\\ \leq(m-1)n\log n+n(m+(m-1)+\dots+2)+g(n,1)\\ =(m-1)n\log n+n\binom{m+1}2\sim mn\log n. \end{multiline*}$

А14. АЛГОРИТМ $(E, n,m, a_{m-2})$ .

$\begin{equation}\\ \text{Дано:\quad $ n\in\mathbb N;\ m\in\mathbb N $ ; $ n\!\times\!m $ -матрица $ E $ , такая, что $ \deg \omega_E\leq m-2 $ }\\ \text{Надо:\qquad $ a_{m-2}(E) $ .}\\ \text{Начало}\\ \text{ $ a_{m-2}:=0$} \\ \text{ $ r:= $ число нулевых столбцов матрицы $ E$} \\ \text{ $ m:=m-r $}\\ \text{$ E: $ удалить нулевые столбцы }\\ \text{сортировать строки по возрастанию элементов первого столбца}\\ \text{$\mathbb N_S:=0 $ }\\ \text{ $ i:= 1$} \\ \text{ $ E_0:= \emptyset$} \\ \text{ цикл пока $ i <n$} \\ \text{\qquad цикл пока $ e_{i1}=N_S $ и $ i\leq n $ }\\ \text{\qquad \qquad $ E_0:=E_0\cup (e_{i2},\dots,e_{im}) $ }\\ \text{\qquad \qquad $ i := i + 1 $ }\\ \text{\qquad конец цикла}\\ \text{\qquad $ N_R := e_{i1} $ }\\ \text{\qquad $ \textbf{a} := (a_1,\dots,a_{m-1}) $ , где $ a_i $ - минимальный элемент $ i $ -го столбца} \\ \text{\qquad \quad матрицы, состоящей из векторов из $ E_0 $ }\\ \text{\qquad $ E_0:=\textbf{a} $ }\\ \text{\qquad $ a_{m-2}:= a_{m-2} + |\textbf{a}|(N_R - N_S) $ }\\ \text{\qquad $ N_S := N_R $ }\\ \text{конец цикла}\\ \text{ $ E: $ удалить первый столбец}\\ \text{алгоритм A14 $ (E,n,m-1,b) $ }\\ \text{ $ a_{m-2}:= a_{m-2}+ b $ }\\ \text{Конец}\\ \end{equation}$

Теперь, пользуясь алгоритмом A14 и формулой (13.14), можно найти старший коэффициент многочлена Гильберта для любой матрицы. Сложность f_k(n,m) вычисления этого коэффициента для матрицы , такой, что $\deg\omega_E = m-k$ $(1\leq k\leq m)$ , не превосходит

$\begin{multiline*} n \log n + {\sum\limits_{i=1}^n} f_{k-1}(i,m-1) + f_k(n,m-1)\\ \leq n \log n + nf_{k-1}(n,m-1) + f_k(n,m-1), \end{multiline*}$

при использовании приведенного ниже алгоритма A15. Таким образом, $f_3(n,m)\sim \binom m2 n^2\log n$ и, в общем случае,

$f_k(n,m) \sim \binom m{k-1}n^{k-1}\log n\quad (k=3,\dots,m).$

А15. АЛГОРИТМ $(E, n,m, k, a_{m-k})$ .

$\begin{equation} \text{Дано:\qquad $ n\in\mathbb N $ , $ m\in\mathbb N $ , $ k\in\mathbb N $ , $ k\geq2 $ , $ m\geq k $;}\\ \text{\qquad $ n\!\times\!m $ -матрица $ E $ , такая, что $ \deg\omega_E\leq m-k $ }\\ \text{Надо: \qquad $ a_{m-k}(E) $ .}\\ \text{Начало}\\ \text{$ a_{m-k}:=0 $} \\ \text{$ r:= $ число нулевых столбцов матрицы $ E $} \\ \text{$ m:=m-r $ }\\ \text{$ E: $ удалить нулевые столбцы }\\ \text{сортировать строки по возрастанию элементов первого столбца}\\ \text{$mathbb N_S:=0 $} \\ \text{$ i:= 1 $} \\ \text{$ E_0:= \emptyset $} \\ \text{цикл пока $ i<n $} \\ \text{\qquad цикл пока $ e_{i1}=N_S $ и $ i\leq n $ }\\ \text{\qquad \qquad $ E_0:=E_0\cup (e_{i2},\dots,e_{im}) $} \\ \text{\qquad \qquad $ i := i + 1 $ }\\ \text{\qquad конец цикла}\\ \text{\qquad $ N_R := e_{i1} $ }\\ \text{\qquad $ \textbf{a} := (a_1,\dots,a_{m-1}) $ , где $ a_i $ - минимальный элемент $ i $ -го столбца }\\ \text{\qquad \quad матрицы, состоящей из векторов из $ E_0 $} \\ \text{\qquad $ E_0:=\textbf{a} $} \\ \text{\qquad $ a_{m-2}:= a_{m-2} + |\textbf{a}|(N_R - N_S) $ }\\ \text{\qquad $ N_S := N_R $ }\\ \text{конец цикла}\\ \text{$ E: $ удалить первый столбец}\\ \text{алгоритм А14 $ (E,n,m-1,b) $ }\\ \text{$ a_{m-2}:= a_{m-2}+ b $} \\ \text{если $ k=2 $ , то алгоритм А14 $ (E, n, m, a_{m-2) $} \\ \text{иначе $ E: $ удалить нулевые столбцы }\\ \text{\qquad $ m:= $ число столбцов матрицы $ E $} \\ \text{\qquad $ N_S := 0 $} \\ \text{\qquad $ E_0:=\emptyset $} \\ \text{\qquad цикл для каждого ненулевого $ e_{i1} $ в порядке возрастания }\\ \text{\qquad \qquad $ N_R:= e_{i1} $ }\\ \text{\qquad \qquad $ E_0: $ добавить последовательность строк}\\ \text{\qquad \qquad \qquad $ \{ (e_{j2},\dots,e_{jm})\mid e_{j1}= N_S\} $} \\ \text{\qquad \qquad $ N_0 := $ число векторов в $ E_0 $ }\\ \text{\qquad \qquad алгоритм А15 $ (E_0,N_0,m-1,k-1,P) $ }\\ \text{\qquad \qquad $ a_{m-k}:= a_{m-k}+ (N_R - N_S)P $ }\\ \text{\qquad \qquad $ N_S:= N_R $} \\ \text{\qquad конец цикла}\\ \text{\qquad $ E: $ удалить первый столбец}\\ \text{\qquad алгоритм А15 $ (E,n,m-1,k-1,P) $ }\\ \text{\qquad $ a_{m-k}:= a_{m-k}+ P $ }\\ \text{конец если}\\ \text{Конец}\\ \end{equation}$

Завершая изложение теории размерностных многочленов, следует упомянуть размерностные многочлены от многих переменных, теория которых была заложена в статье [ 19 ] и подробно изложена в монографии [ 20 ] .

Дальше >>

Введение в компьютерную алгебру

Введение в компьютерную алгебру

Алгоритмы вычисления размерностных многочленов

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в компьютерную алгебру

Введение в компьютерную алгебру

Алгоритмы вычисления размерностных многочленов

Вопросы и ответы

Студенты