НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 6: Алгоритмы вычисления размерностных многочленов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Другой способ вычисления размерностного многочлена $\omega_E(t)$ для $n\!\times\! m$ -матрицы состоит в следующем. Для n<m можно вычислять многочлен $\omega_E(t)$ , пользуясь алгоритмом A9. Пусть $n\geq m$ . В этом случае применяем к соотношение (12.3), в котором $\textbf{e}$ - строка с максимальным значением элемента в первом столбце матрицы . (Тривиальные случаи: если E=(0) , то $\omega_E=0$ ; если n=1 , применяем алгоритм (12.3).) Легко видеть, что число нулевых столбцов в матрице (см. (12.3)) больше, чем в матрице , и число строк в каждой из матриц $E\setminus\textbf{e}$ , меньше чем в . Затем применяем описанную процедуру к матрице $E\setminus\textbf{e}$ и т.д., пока не получим матрицу, размерностный многочлен которой можно вычислить по алгоритму A9. В результате этого процесса мы получаем представление требуемого многочлена $\omega_E(t)$ в виде линейной комбинации многочленов $\omega_{\textbf{e}},\omega_{H_1},\dots,\omega_{H_{n-1}}$ (со сдвинутыми аргументами), таких, что каждая матрица H_i имеет ровно строк и число ее нулевых столбцов на один больше, чем в . Многочлен $\omega_{\textbf{e}}$ и некоторые из многочленов $\omega_{H_i}$ вычисляются по алгоритму A9 (в тех случаях, когда этот алгоритм нужно применять в соответствии с вышеприведенными рассуждениями). Для вычисления остальных многочленов $\omega_{H_i}$ снова применяем соотношение (12.3) и продолжаем в том же духе. Заметим, что если первый столбец в матрице нулевой и m > 1 , то число операций в вычислении $\omega_E$ по предлагаемой схеме совпадает с числом операций при вычислении размерностного многочлена $n\!\times\! (m-1)$ -матрицы. Кроме того, если - $n\!\times\!1$ -матрица, то все ее строки кроме той, которая содержит элемент $\min_{1\leq i\leq n}\{ e_{i1}\}$ , являются лишними, так что вычисление размерностного многочлена по формуле $\omega_E=\min_{1\leq i\leq n}\{ e_{i1}\}$ требует (n-1) операцию. Таким образом, если f(n,m) обозначает число элементарных операций (сложение, сравнение или умножение) необходимых для вычисления размерностного многочлена $\omega_E(t)$ матрицы размера $n\!\times\! m$ , то $f(n,m)\leq(n-1)+f(n-1,m)+f(n-1,m-1)$ . Поскольку f(n,1)=n-1 , имеем

$\begin{align*} f(n,2)&\leq 2(n-1) + f(n-1,2)\\ & \leq 2((n-1) + (n-2)) + f(n-2,2) \leq \dots\\ &\leq 2((n-1) + (n-2) +\dots+1)= \frac {n(n-1)}2\cdot 2\leq n^2;\\ f(n,3)&\leq n^2+(n-1)^2+\dots+1 \leq n^3;\\ &\vdots\\ f(n,k)&\leq n^{k-1}+ (n-1)^{k-1}+\dots+1\leq n^k \end{align*}$

и т. д. Поэтому алгоритм вычисления размерностного многочлена, основанный на приведенной схеме (см. алгоритм A12 ), имеет асимптотическую сложность O(n^m)

.

А12. АЛГОРИТМ $(E, n,m, \omega)$ .

$\begin{equation}\\ \text{Дано: \quad $n\in\mathbb N; m\in\mathbb N$;$n\!\times\!m$-матрица$E$.} \\ \text{Надо: \qquad$\omega(t)=\omega_E(t)$- многочлен Гильберта матрицы $E$.}\\ \text{Пер.: \qquad $h \in \mathbb N$}\\ \text{\qquad $J$- множество элементов типа $1..m$;}\\ \text{\qquad $\textbf{e}$- вектор типа $\mathbb N$ с индексами $1..m$;}\\ \text{\qquad $F$- матрица типа $\mathbb N$, число столбцов которой не более $m$,}\\ \text{ \qquad а число строк - не более $n$.}\\ \text{Начало}\\ \text{$h:=n$}\\ \text{$F:= E$}\\ \text{если $h \leq m $ то }\\ \text{\qquad Алгоритм A9 $(E,n,m,\omega)$}\\ \text{иначе}\\ \text{\qquad $J:=\{$ ненулевые столбцы $F\}$}\\ \text{\qquad если $J=\emptyset $ то $\omega(t) := 0$}\\ \text{\qquad иначе если $\Card J = 1$ то}\\ \text{\qquad\qquad $c:=$ минимальный элемент столбца $j \in J$}\\ \text{\qquad\qquad $\omega := \binom {t+m}m-\binom {t+m-c}m$}\\ \text{\qquad иначе}\\ \text{\qquad\qquad $j:=\{$ первый элемент множества $J\}$}\\ \text{\qquad \qquad $\textbf{e}:=\{$ первая строка матрицы $F$ с минимальным}\\ \text{\qquad\qquad\quad элементом в $j$ -м столбце $\}$}\\ \text{\qquad\qquad $F:= F\setminus\textbf{e}$}\\ \text{\qquad\qquad Алгоритм A12$(F,h-1,m,\omega)$}\\ \text{\qquad\qquad $v(t):= \omega(t)$}\\ \text{\qquad\qquad $F:= \{\textbf{f}-\textbf{e} \mid \textbf{f}$ - строка матрицы $F, \textbf{f} \neq \textbf{e}\} $}\\ \text{\qquad\qquad Алгоритм A12 $(F,h-1,m,\omega)$}\\ \text{\qquad\qquad $\omega(t) := v(t) - \omega (t-|\textbf{e}|)$}\\ \text{\qquad конец если} \\ \text{конец если}\\ \text{Конец} \end{equation}$

Символ $\dotminus$ , которым мы пользуемся в алгоритме A12, обозначает следующую операцию на векторах:

$(a_1,\dots,a_m) \dotminus(b_1,\dots,b_m) = (c_1,\dots,c_m),$

где $c_i=\max(a_i-b_i,0)$ для всех $i=1,\dots,m$ . При этом, если m > 2

, то

$(1\leq i\leq m)$ обозначает

-ю координату элемента $\textbf{e} \in \mathbb N^m$ .

В заключение этого параграфа рассмотрим алгоритм вычисления размерностного многочлена, асимптотическая сложность которого меньше асимптотической сложности алгоритмов A9, A10, A11 и A12. Кроме того, представим алгоритм вычисления старшего коэффициента размерностного многочлена.

Пусть $\mathbb Q[t]$ - кольцо многочленов над полем рациональных чисел. Для каждого $s\in\mathbb N$ пусть $\Delta_s$ и $\Delta^{-1}$ обозначают операторы, действующие на $\mathbb Q[t]$ следующим образом:

$\begin{equation}\ \Delta_s(f(t))=f(t)-f(t-s) \end{equation}$

( 13.7)

и если $f(t) =\sum_{i\in\mathbb N} a_i\binom{t+i}i$ $(a_i\in\mathbb Q)$ для всех $i\in\mathbb N$ , то

$\begin{equation}\label{13.7'} \Delta^{-1}f(t)=\sum_{i\in\mathbb N} a_i\binom {t+1+i}{i+1}. \qquad \qquad \qquad \ecno(13.7') \end{equation}$

Отметим, что операторы $\Delta_s$ и $\Delta^{-1}$ $(s \in \mathbb N)$ , удовлетворяют следующему тождеству:

$\begin{equation} \Delta_s\Delta^{-1}f(t) =f(t)+f(t-1)+ \dots+f(t-s+1). \end{equation}$

( 13.8)

В частности,

$\Delta_1\Delta^{-1}= \id_{\mathbb Q[t]}.$

Действительно, пусть

$f(t) =\sum\limits_{i\in\mathbb N} a_i\binom {t+i}i$

$a_i\in\mathbb Q$ для всех $i\in\mathbb N$ , и a_i=0

для почти всех $i\in\mathbb N$ и пусть $s \in \mathbb N$ . По (11.4) имеем

$\begin{multiline*} \Delta_s\Delta^{-1}f(t) =\sum\limits_{i\in\mathbb N} a_i\left[\binom{t+i+1}{i+1}-\binom {t+i+1-s}{i+1}\right] =\sum\limits_{i\in\mathbb N} a_i\sum\limits_{r=0}^{s-1} \binom {t+i+1-s+r}i =\sum\limits_{i\in\mathbb N} a_i\sum\limits_{r=0}^{s-1} \binom {t+i-r}i\\ =\sum\limits_{r=0}^{s-1} \sum\limits_{i\in\mathbb N} a_i\binom {t+i-r}i =\sum\limits_{r=0}^{s-1} f(t-r). \end{multliine*}$

13.10. ЛЕММА. Пусть $E=(e_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq m}}$ - $n\!\times\!m$ - матрица над $\mathbb N$ , $k\in\mathbb N_m$ и $a=\min_{i=1}^n\{e_{ik} \mid e_{ik}\neq 0\}$ . Через E_1 обозначим матрицу, полученную из удалением -го столбца и всех строк с ненулевым элементом в -м столбце. Далее, пусть $H =(h_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq m}}$ - $n\!\times\! m$ -матрица с элементами

$\[ h_{ij}=\begin{cases} \max(e_{ik}- a,0),& \text { если }j=k\\ e_{ij},& \text { если } j\neq k\end{cases}\quad (1\leq i\leq n,\ 1\leq j\leq m).$

Тогда

$\begin{equation} \omega_E(t)=\Delta_a\Delta^{-1}\omega_{E_1}(t)+\omega_H(t-a), \end{equation}$

( 13.9)

где $\omega_E(t)$ , $\omega_H(t)$ и $\omega_{E_1}(t)$ - размерностные многочлены матриц

,

и

соответственно.

В частности, если

$E= \begin{pmatrix} k & 0\dots0\\ \begin{matrix} 0\\ \vdots \\ 0\end{matrix} & E_1\end{pmatrix},$

где $e_{11}=k$ , а все остальные элементы первого столбца и первой строки равны нулю, то $\omega_E(t)=\Delta_k\cdot\Delta^{-1}\omega_{E_1}(t)$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применяя формулу (12.2) к матрице и вектору $(0,\dots,0,a,0,\dots,0)$ ( - -я координата этого вектора), получаем

$\omega_E(t) = \omega_{E\cup (0,\dots,0,a,0,\dots,0)}(t) + \omega_H(t-a).$

Теперь применим (12.2) к матрице $E\cup (0,\dots,0,a,0,\dots,0)$ и вектору $(0,\dots,0,1,0,\dots,0)$ (где 1 стоит на

-м месте). По теореме 12.8(8) получим

$\omega_{E\cup (0,\dots,0,a,0,\dots,0)}(t)= \omega_{E_1}(t)+ \omega_{E\cup (0,\dots,0,a-1,0,\dots,0)}(t-1).$

Повторяя эту операцию

раз, получим равенство

$\omega_{E\cup (0,\dots,0,a,0,\dots,0)}(t) =\omega_{E_1} (t) + \omega_{E_1}(t-1)+\dots+ \omega_{E_1}(t-(a-1)),$

откуда следует (13.9) (см. (13.8)).

Теперь можно предложить следующую схему вычисления размерностного многочлена $\omega_E(t)$ матрицы $E=(e_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq m}}$ , основанную на формуле (13.9). Сначала, выбрав вектор $(a,0,\dots,0) \in \mathbb N^m$ , где $a=\min_{1\leq i\leq n} \{ e_{i1}\ \mid e_{i1}\neq 0\}$ , и применив лемму 13.10, сведем нашу задачу к вычислению размерностного многочлена матрицы E_1 с (m-1) столбцом и размерностного многочлена матрицы $H = (h_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq m}}$ , такой, что $0\leq h_{i1}< e_{i1}$ $(1\leq i\leq n)$ . Для определения $\omega_H(t)$ применим формулу (13.9) (с матрицей вместо ) и продолжим процесс до тех пор, пока не получим представление $\omega_E(t)$ в виде суммы размерностных многочленов матриц с (m-1) столбцом и размерностного многочлена $\omega_{H_1}(t)$ , где H_1 - $n\!\times\! m$ -матрица с нулевым первым столбцом. Для вычисления $\omega_{H_1}(t)$ применяем описанную процедуру ко второму столбцу и т. д.