Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? |
Алгоритмы вычисления размерностных многочленов
Другой способ вычисления размерностного
многочлена для
-матрицы
состоит в следующем. Для
можно
вычислять
многочлен
, пользуясь алгоритмом A9. Пусть
. В
этом случае применяем к
соотношение (12.3), в
котором
-
строка с максимальным значением элемента в первом столбце
матрицы
.
(Тривиальные случаи: если
, то
;
если
, применяем
алгоритм (12.3).) Легко видеть, что
число нулевых столбцов в матрице
(см. (12.3)) больше, чем
в матрице
, и число строк в каждой из
матриц
,
меньше чем в
.
Затем применяем описанную процедуру к
матрице
и т.д., пока не получим матрицу,
размерностный
многочлен которой можно вычислить по алгоритму A9. В результате этого
процесса мы получаем представление требуемого
многочлена
в виде
линейной комбинации
многочленов
(со
сдвинутыми аргументами),
таких, что каждая матрица
имеет ровно
строк и
число ее нулевых
столбцов на один больше, чем в
.
Многочлен
и некоторые из
многочленов
вычисляются по алгоритму A9 (в тех
случаях, когда этот алгоритм нужно применять в соответствии с вышеприведенными
рассуждениями). Для вычисления остальных
многочленов
снова
применяем соотношение (12.3) и продолжаем в том же духе. Заметим, что
если первый столбец в матрице
нулевой и
, то
число операций в
вычислении
по предлагаемой схеме совпадает с числом
операций при
вычислении размерностного многочлена
-матрицы.
Кроме того,
если
-
-матрица, то все ее строки
кроме той, которая
содержит элемент
, являются
лишними, так что
вычисление размерностного многочлена по формуле
требует
операцию. Таким образом,
если
обозначает число элементарных операций (сложение,
сравнение или умножение)
необходимых для вычисления размерностного
многочлена
матрицы
размера
, то
. Поскольку
, имеем



Символ , которым мы пользуемся в алгоритме A12, обозначает следующую операцию на
векторах:








В заключение этого параграфа рассмотрим алгоритм вычисления размерностного многочлена, асимптотическая сложность которого меньше асимптотической сложности алгоритмов A9, A10, A11 и A12. Кроме того, представим алгоритм вычисления старшего коэффициента размерностного многочлена.
Пусть - кольцо многочленов над полем рациональных
чисел. Для
каждого
пусть
и
обозначают операторы, действующие на
следующим образом:
![]() |
( 13.7) |




Отметим, что
операторы и
,
удовлетворяют следующему тождеству:
![]() |
( 13.8) |
![\Delta_1\Delta^{-1}=
\id_{\mathbb Q[t]}.](/sites/default/files/tex_cache/22b0bc331d09c19c88a000646a17d9ae.png)






![\begin{multiline*}
\Delta_s\Delta^{-1}f(t)
=\sum\limits_{i\in\mathbb N} a_i\left[\binom{t+i+1}{i+1}-\binom {t+i+1-s}{i+1}\right]
=\sum\limits_{i\in\mathbb N} a_i\sum\limits_{r=0}^{s-1} \binom {t+i+1-s+r}i
=\sum\limits_{i\in\mathbb N} a_i\sum\limits_{r=0}^{s-1} \binom {t+i-r}i\\
=\sum\limits_{r=0}^{s-1} \sum\limits_{i\in\mathbb N} a_i\binom {t+i-r}i
=\sum\limits_{r=0}^{s-1} f(t-r).
\end{multliine*}](/sites/default/files/tex_cache/b6abdb93801c4860d7ea3505b53436a0.png)
13.10. ЛЕММА. Пусть -
- матрица над
,
и
. Через
обозначим матрицу, полученную
из
удалением
-го столбца и всех строк с ненулевым
элементом в
-м столбце. Далее, пусть
-
-матрица с элементами

![]() |
( 13.9) |






В частности, если



ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Применяя формулу (12.2) к матрице и
вектору
(
-
-я координата этого вектора), получаем







Теперь можно предложить следующую схему вычисления размерностного
многочлена матрицы
,
основанную на формуле (13.9). Сначала, выбрав
вектор
, где
, и применив
лемму 13.10, сведем нашу задачу к
вычислению размерностного многочлена
матрицы
с
столбцом и размерностного многочлена
матрицы
, такой,
что
. Для
определения
применим формулу
(13.9) (с матрицей
вместо
) и продолжим
процесс до тех пор, пока
не получим представление
в виде суммы размерностных
многочленов
матриц с
столбцом и размерностного
многочлена
,
где
-
-матрица с нулевым первым
столбцом. Для вычисления
применяем описанную
процедуру ко второму столбцу и т. д.