НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 6: Алгоритмы вычисления размерностных многочленов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

13.11. ПРИМЕР. Вычислим многочлен Гильберта $\omega_E(t)$ матрицы

$E=\begin{pmatrix} 2&0&0\\0&2&0\end{pmatrix}.$

Сначала находим a=2 . Применяя (13.9), получаем

$\omega_E(t)=\Delta_2\Delta^{-1}\omega_{E_1}(t)+\omega_H(t-2),$

где

и $H=\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&2&0\end{pmatrix}$ . Ясно, что $\omega_H(t)=0$ (см. теорему 12.8(6)) и $\omega_{E_1}(t)=\binom {t+2}2 - \binom {t+2-2}2$ , следовательно, (см. 13.8)

$\begin{align*} \omega_E(t)&{} = \Delta_2\Delta^{-1}\omega_{E_1}(t) = \omega_{E_1}(t) + \omega_{E_1}(t-1) \\ &{}= \binom {t+2}2 - \binom t2 + \binom {t+1}2-\binom {t-1}2 = 4t. \end{align*}$

Заметим, что вычисление многочлена Гильберта $\omega_E(t)$ по одному из алгоритмов A9, A10, A11 или A12 приводит к представлению этого многочлена в виде $\omega_E(t) = \binom {t+3}3-2\binom {t+3-2}3 + \binom {t+3-4}3$ . Однако, применяя лемму 13.10, мы получаем многочлен $\omega_E(t)$ в виде суммы многочленов вида $a_k\binom {t+i}k$ $(i \in\mathbb Z$ , $k \in \mathbb N$ , $a_k\in\mathbb Z)$ . Максимальная степень этих многочленов меньше степени многочленов, фигурирующих в подобном представлении для $\omega_E(t)$ , когда $\omega_E(t)$ вычисляется по одному из алгоритмов A9, A10, A11 или A12.

Следующая лемма дает возможность оценивать степень многочлена Гильберта и вычислять его старший коэффициент, не вычисляя многочлен Гильберта полностью.

13.12. ЛЕММА. Пусть $E = (e_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq m}}$ - $n\!\times\! m$ -матрица над $\mathbb N$ и $\tau\le m$ - неотрицательное целое число. Тогда $\deg\omega_E(t)<\tau$ если и только если для любого подмножества , состоящего из $m-\tau$ элементов множества $\{1,\dots,m\}$ , существует строка e_I матрицы , такая, что все элементы этой строки, стоящие в столбцах с индексами из , равны нулю. В частности, $\omega_E(t)=\const$ тогда и только тогда, когда содержит диагональную подматрицу.

Доказательство леммы проводится индукцией по сумме элементов матрицы и оставляется читателю в качестве упражнения.

Матрицу над $\mathbb N$ назовем нормализованной, если каждый столбец матрицы содержит нуль. Ниже будет показано, что если - нормализованная $n\!\times\!m$ -матрица, то алгоритм вычисления размерностного многочлена $\omega_E(t)$ , основанный на лемме 13.10, требует меньшего числа операций, чем для произвольной $n\!\times\! m$ -матрицы. В то же время, для сведения задачи вычисления размерностного многочлена произвольной $n\!\times\! m$ -матрицы над $\mathbb N$ к аналогичной задаче для нормализованной $n\!\times\! m$ -матрицы можно воспользоваться теоремой 12.8(9).

13.13. ЛЕММА. Пусть $E = (e_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq m}}$ - $n\!\times\! m$ -матрица над $\mathbb N$ и предположим, что $\deg \omega_E=0$ .

Если $e_{1j}=0$ при $j=2,\dots,m$ и $e_{i1}=0$ при $i=2,\dots,n$ , то $\omega_E = e_{11}\omega_{E_1}$ , где $(n-1)\!\times\! (m-1)$ - матрица получена из удалением первой строки и первого столбца.
Если матрица получена из посредством обнуления первого столбца, то $\omega_H=0$ .
Если $a=\min_{1\leq i\leq n}\{ e_{i1}| e_{i1}\neq0\}$ , то
$\begin{equation} \omega_E = a\omega_{E_1} + \omega_{E_2}, \end{equation}$ ( 13.10)
где матрица получена из удалением первого столбца и всех строк, содержащих ненулевые элементы в первом столбце, а $E_2= (e'_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\1\leq j\leq m}}$ , где
$e'_{ij}=\begin{cases} e_{ij}, & \text{если\quad } 2\leq j\leq m,\\ \max\{ e_{i1}-a, 0\} ,& \text{если\quad } j=1\end{cases} \ (i=1,\dots,n).$

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) Если $e_{11}=0$ , то в имеется нулевая строка, следовательно, $\omega_E=0$ (см. теорему 12.8(6)). Если $e_{11}>0$ , то применяя (12.2) к и $\textbf{e}=(1,0,\dots,0)\in\mathbb N^m$ , получаем

$\omega_E = \omega_{E\cup\textbf{e}}+\omega_H = \omega_{E_1}+ \omega_H, \text{ где } H =\begin{pmatrix} e_{11}-1 & 0\dots0\\ \begin{matrix} 0\ \vdots \\ 0\end{matrix} & E_1\end{pmatrix}.$

Таким образом, индукция по $e_{11}$ дает требуемый результат.

(2) Лемма 13.12 утверждает, что содержит строку, в которой ненулевой может быть только первая координата. Значит содержит нулевую строку, следовательно, $\omega_H=0$ .

(3) Соотношение (13.10) следует из (12.2), записанного для и $(a,0,\dots,0)\in\mathbb N^m$ .

Пользуясь леммой 13.13, можно предложить следующий метод вычисления многочлена Гильберта $\omega_E$ матрицы в случае, когда $\deg\omega_E=0$ : применить соотношение (13.10) к $\omega_E$ (где - минимальный ненулевой элемент в первом столбце матрицы ), затем выписать аналогичное представление для E_2 и т. д. После конечного числа таких шагов получим представление многочлена $\omega_E$ в виде суммы многочленов Гильберта матриц $F_1,\dots,F_r$ $(r\in\mathbb N$ , $r\geq 1)$ с (m-1) столбцами и многочлена Гильберта $\omega_H$ , где элементы матрицы $H=(h_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\1\leq j\leq m}}$ равны

$h_{ij}=\begin{cases} e_{ij},& \text{если } 1\leq i\leq n,\ 2\leq j\leq m\\ 0, &\text{если } 1\leq i\leq n,\ j=1,\end{cases}$

так что $\omega_H=0$ (см. лемму 13.13(2)). Применяя описанную процедуру к каждой из матриц $F_1,\dots,F_r$ , мы сводим вычисление многочлена $\omega_E$ к вычислению многочленов Гильберта для некоторых матриц с (m-2)

столбцами и т.д., пока не получим матрицы, состоящие из единственного столбца. Как мы знаем, многочлен Гильберта такой матрицы совпадает с ее минимальным элементом.

В общем случае (без условия $\deg \omega_E=0$ ) вычисление размерностного многочлена $\omega_E(t)$ для $n\!\times\! m$ -матрицы $E=(e_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq m}}$ по описанной схеме (используя (13.9) вместо (13.10)) можно свести к вычислению размерностных многочленов матриц, число столбцов в которых меньше , и размерностных многочленов некоторых $n\!\times\! m$ -матриц с нулевым первым столбцом. Более точно: если первый столбец матрицы содержит ненулевые элементы, то мы полагаем $a=\min_{1\leq i\leq n} \{ e_{i1} | e_{i1}\neq0 \}$ и применяем (13.19). Затем применяем то же самое соотношение к (см. лемму 13.10) и т. д. В результате получим разложение многочлена $\omega_E(t)$ в сумму многочленов вида $\omega_{E_i}(t-a_i)$ , где $a_i\in \mathbb N$ и E_i - либо матрица, число столбцов в которой меньше , либо $n\!\times\! m$ -матрица с нулевым первым столбцом. Для вычисления размерностных многочленов матриц второго типа применяем описанный метод ко второму столбцу и т. д., пока не получим представление многочлена $\omega_E(t)$ в виде суммы размерностных многочленов матриц, число столбцов в которых меньше , и размерностных многочленов матриц с не более чем двумя ненулевыми столбцами. Размерностный многочлен матрицы последнего типа может быть найден с помощью следующего утверждения.