НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 6: Алгоритмы вычисления размерностных многочленов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

13.8. ПРИМЕР. Найдем значение $\mu_1(E)$ для матрицы

$E=\left(\smallmatrix 0&0&1&1\\ 0&1&0&1\\0&1&1&0\\1&0&0&1\\1&0&1&0\\1&1&0&0 \endsmallmatrix\right).$

Применяя лемму 13.5, получаем $\mu_1(E) = \mu_1(E_1) - \mu_1(E_2)$ , где

$E_1 =\left(\smallmatrix 0&1&1\\ 1&0&1\\1&1&0\\0&0&1\\0&1&0\\1&0&0 \endsmallmatrix\right),$

$E_2=\left(\smallmatrix 0&1&1\\ 1&0&1\\1&1&0 \endsmallmatrix\right).$

Легко видеть, что три первых строки матрицы E_1

являются "лишними", поэтому

$\mu_1(E_1) = \mu_1\left(\left(\smallmatrix 0&0&1\\ 0&1&0\\1&0&0 \endsmallmatrix\right)\right)=-1$

(см. п.5 леммы 13.3). Применяя еще раз лемму 13.5, получаем (в силу утверждений леммы 13.3, что $\mu_1(E_2) = \mu_1\left(\left(\smallmatrix 1&1\\ 0&1\\1&0 \endsmallmatrix\right)\right)-\mu_1((1,1))=1+1=2.$ Следовательно, $\mu_1(E) = \mu_1(E_1) - \mu_1(E_2) = -3$ .

Другой метод вычисления $\mu_1(E)$ основан на лемме 13.7:

$\begin{align*} \mu_1(E)&= \mu_1\left(\left(\smallmatrix 0&1&0&1\\ 0&1&1&0\\1&0&0&1\\1&0&1&0\\1&1&0&0 \endsmallmatrix\right)\right) - \mu_1\left(\left(\smallmatrix 0&1\\ 0&1\\ 1&0\\1&0\\1&1\endsmallmatrix\right)\right) \\ &=\mu_1\left(\left(\smallmatrix 0&1&1&0\\1&0&0&1\\1&0&1&0\\1&1&0&0 \endsmallmatrix\right)\right)- \mu_1\left(\left(\smallmatrix 0&1\\1&0\\1&0 \endsmallmatrix\right)\right)- 1\\ &=\mu_1\left(\left(\smallmatrix 1&0&0&1\\1&0&1&0\\1&1&0&0 \endsmallmatrix\right)\right)- \mu_1\left(\left(\smallmatrix 1&1\\1&0\\1&0 \endsmallmatrix\right)\right) - 2\\ &=\mu_1\left(\left(\smallmatrix 1&0&1&0\\1&1&0&0 \endsmallmatrix\right)\right)- \mu_1\left(\left(\smallmatrix 0&1\\ 1&0 \endsmallmatrix\right)\right) - 2=-3. \end{align*}$

В качестве следствия леммы 13.7 получаем следующее утверждение, на котором основан алгоритм вычисления размерностного многочлена матрицы (см. ниже алгоритм A11 ).

13.9. ЛЕММА. Пусть $E = (e_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq m}}$ - $n\!\times\! m$ -матрица над $\mathbb N$ и $\tau = (\tau_1,\dots,\tau_m) \in T = T(E)$ (как и выше, T(E) обозначает множество всех допустимых векторов матрицы , т. е. множество всех элементов $\tau \in \mathbb N^m$ , равных либо $(0,\dots,0)$ , либо наименьшему общему кратному некоторых строк матрицы ). Пусть - матрица, состоящая из всех тех строк матрицы , которые мажорируются вектором $\tau$ (для определенности предположим, что строки матрицы располагаются в том же порядке, в каком они расположены в матрице ). Кроме того, пусть $\mbk = (k_1,\dots,k_m)$ - одна из строк матрицы и $K\setminus\mbk$ - матрица, полученная удалением строки $\mbk$ из . Тогда для любого подмножества $J =\{ i_1,\dots,i_l\}$ множества $\mathbb N_m$ , такого, что $i_1<\dots<i_l\ (1\leq l\leq m)$ , имеем

$\begin{equation} \mu_\tau (K,m) = \mu_\tau (K\setminus\mbk,m) - \mu_{\tau'} (K\setminus\mbk,J), \end{equation}$

( 13.6)

где $\mu_\tau (K,m)$ , $\mu_\tau(K\setminus\mbk,m)$ суть соответственно коэффициенты $\mu_\tau$ , определенные формулой (13.2) для матриц

и $K\setminus\mbk$ , а $\mu_{\tau'}(K\setminus\mbk,J)$ - аналогичные коэффициенты для вектора $\tau'=(\tau_{i_1},\dots,\tau_{i_l})\in\mathbb N^l$ (вместо $\tau$ ) и для $(n-1)\!\times\!(m-l)$ -матрицы, полученной из

удалением столбцов с индексами $j\in\mathbb N_m\setminus J$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Без потери общности можно предположить, что $\mbk$ - первая строка матрицы . Из леммы 13.1 следует, что

$\mu_\tau(K,m) = \mu_1(H)$

, где $H= (h_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq m}}$ - $n\!\times\! m$ -матрица с элементами $h_{ij}=\begin{cases} 1, &\text {если } e_{ij}= \tau_j,\\ 0, &\text {если } e_{ij}\neq\tau_j,\end{cases}$ $(i = 1,\dots,n)$ . Аналогично, $\mu_\tau(K\setminus\mbk,m) = \mu_1(H_1)$ и $\mu_{\tau'}(K\setminus\mbk,J) = \mu_1(H_2)$ , где матрица H_1

получена из

отбрасыванием первой строки, а H_2

получена из H_1

отбрасыванием столбцов с индексами $i_1,\dots,i_l$ . Применяя теперь лемму 13.7, получаем соотношение $\mu_1(H) = \mu_1(H_1) - \mu_1(H_2)$ , из которого следует требуемое утверждение.

Вычисление коэффициентов $\mu_\tau$ $(\tau \in T = T(E))$ в (13.4) для размерностного многочлена произвольной $n\!\times\! m$ -матрицы (а, значит, и вычисление самого размерностного многочлена) может быть выполнено по следующей схеме: сначала применяем (13.6) к матрице (формируя матрицу тех строк матрицы , которые мажорируются вектором $\tau$ . Ясно, что коэффициенты $\mu_\tau$ для матриц и совпадают). Затем вычисляем значения $\mu_\tau(K\setminus\mbk,m)$ и $\mu_{\tau'}(K\setminus\mbk,J)$ , снова применяя (13.6) и т. д., пока не получим "пустые" матрицы (т. е. матрицы с нулевым числом строк).

А11. АЛГОРИТМ $(E, n,m, T, \mu)$ .

$\begin{equation*}\\ &\text{Дано: \qquad $m \in \mathbb N$,$n \in \mathbb N$;$E$-$n\!\times\! m$-матрица}\\ &\text{Надо: \qquad $T$-множество допустимых векторов матрицы $E$;}\\ &\text{ \qquad \qquad $\mu$- вектор типа $\mathbb Z$ с индексами из $T$.}\\ &\text{Переменные: $J$ - множество типа $1..m$;}\\ \text{\qquad \qquad $K$- множество типа \{вектор типа $\mathbb N$ с индексами $1..m$\}.}\\ \text{Начало} \\ \text{сформировать множество $T$ допустимых векторов}\\ \text{цикл для каждого $\tau\in T$}\\ \text{\qquad \qquad $\mu_\tau:= 0$}\\ \text{\qquad \qquad $J:= \{ 1,\dots,m\}$}\\ \text{\qquad \qquad $K:= \{ \textbf{e}_i \mid \textbf{e}_i\leq \tau \} \text { где } \textbf{e}_i$ - строка матрицы $E$}\\ \text{ \qquad \qquad $v_\tau := 1$}\\ \text{\qquad \qquad NEXTINDEX $(J, K, v_\tau, \mu_\tau)$}\\ \text{конец цикла}\\ \text{Конец}\\ \text{Алгоритм NEXTINDEX $(J, K, v_\tau, \mu_\tau)$}\\ \text{Дано: $J$- множество типа $1..m$}\\ \text{\qquad $K$- множество типа \{вектор типа $\mathbb N$ с индексами $1..m$\}.}\\ \text{\qquad $v_\tau$ - элемент типа $\pm 1$}\\ \text{Надо:}\\ \text{$\mu_\tau$ - вектор типа $ \mathbb N$ с индексами из $T$.}\\ \text{Глобальные переменные: $m \in \mathbb N;$}\\ \text{\qquad $\tau$ - вектор типа $\mathbb N$ с индексами $1..m$.}\\ \text{Начало}\\ \text{цикл для каждой строки $\textbf{k}=\{k_1,\dots,k_m\}$ матрицы $K$, такой,}\\ \text{\qquad что $k_{i_1}=\tau_{i_1}$,}\\ \text{\qquad где $i_1$- первый элемент множества $J$}\\ \text{\qquad $K := K \setminus \textbf{k}$}\\ \text{\qquad $v_\tau := - v_\tau$}\\ \text{\qquad $J' := \{ j \in J \mid k_j=\tau_j\}$}\\ \text{\qquad $J=J\setminus J'$}\\ \text{\qquad выбор}\\ \text{\qquad \qquad $K=\emptyset \& J=\emptyset \implies \mu_\tau:= \mu_\tau+v_\tau$}\\ \text{\qquad \qquad $K\neq\emptyset \& J\neq\emptyset \implies \text{\tt NEXTINDEX}(J,K, v_\tau, \mu_\tau)$}\\ \text{\qquad конец выбора}\\ \text{\qquad $J := J \cup J'$}\\ \text{конец цикла}\\ \text{Конец} \end{equation*}$

Чтобы оценить асимптотическую сложность алгоритма A11 для достаточно больших $n \in \mathbb N$ , заметим, прежде всего, что при фиксированном векторе $\tau = (\tau_1,\dots,\tau_m) \in T$ построение $K=K(\tau )$ требует не более сравнений чисел (на этом шаге мы запоминаем все пары $(k,j) \in \mathbb N_n \times \mathbb N_m$ , для которых $e_{kj}= \tau_j$ ). Далее, выполнение элементарных операций для всех вызовов алгоритма NEXTINDEX (для фиксированного $\tau$ ) требует не более $h_1h_2\dots h_m$ сравнений, где $h_\nu=h_\nu(\tau)$ $(1\leq\nu\leq m)$ обозначает число строк $\textbf{k}=(k_1,\dots,k_m)$ матрицы $K(\tau)$ , таких, что $k_\nu=\tau_\nu$ для всех $\nu=1,\dots,m$ . Легко видеть, что общее число операций для всех вызовов алгоритма NEXTINDEX (с точностью до постоянного множителя это число равно $\sum\limits_{\tau\in T}h_1(\tau)\dots h_m(\tau )$ ) не превосходит $\Card \{(a_1,\dots,a_m) \in \mathbb N^m \mid \text{ для каждого } \nu \in \mathbb N_m$ для каждого $\nu \in \mathbb N_m$ существует $i=i(\nu )\in\mathbb N_n$ , такое, что $a_\nu= e_{i\nu}\}$ , и это не превосходит n^m . Поэтому для достаточно больших $n\in\mathbb N$ асимптотическая сложность алгоритма A11 имеет порядок $n^{m+1}$ .