Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? |
Алгоритмы вычисления размерностных многочленов
13.4. ЛЕММА. Пусть является
-матрицей
;
,
, состоящей из
нулей и единиц. Если первый столбец матрицы
состоит только из
нулей,
а матрица
получена из
удалением этого нулевого
столбца, то
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Применяя формулу (12.2) к матрице и вектору
, получим
, где
-
матрица с элементами
(
суть
координаты вектора
). Очевидно,
и
(см. теорему 12.8(8)), так что
и, в частности,
. Поскольку
содержит нулевой
столбец, из леммы
13.3(2) следует, что
, значит,
.
13.5. ЛЕММА. Пусть
;
,
является
-матрицей состоящей из
нулей и единиц. Предположим, что
для
и
для
. Тогда
, где
матрица
получена
из
удалением первого столбца, а
получена из
удалением
первых строк.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Применяя (12.2) к и
,
получаем
, где
-
-матрица с элементами






13.6. СЛЕДСТВИЕ. Пусть
-
-матрица, состоящая из 0 и 1. Предположим, что
существуют
, такие, что
для всех
. Тогда
, где
получена из
удалением
-го столбца.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Поскольку размерностный многочлен матрицы инвариантен
относительно перестановок строк
(или столбцов) матрицы
, значение
также обладает этим свойством.
Поэтому, без потери общности, можно считать, что
и существует
, такое, что
для
,
и
для
. По лемме 13.5,
, где
получена из
удалением первого столбца и
первых строк (поскольку
для
, каждый элемент
-го столбца матрицы
равен нулю).
Следовательно,
(см. лемму 13.3(2)), так что
.
13.7. ЛЕММА. Пусть
-
-матрица, состоящая из 0 и 1. Предположим, чт о
содержит строку
, такую, что
для
и
для
. Тогда
, где матрица
получена удалением строки
из матрицы
, а
- матрица
получена из матрицы
удалением
первых столбцов.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Применяя формулу (12.3) к матрице и строке
, получаем
, где матрица
получена из
присоединением слева
нулевых столбцов.
Теперь из (12.2) видно, что
,
следовательно,

Поскольку содержит нулевой столбец, из пункта 2
леммы 13.3 следует, что
, значит,










Пусть
-
-матрица. По теореме 12.8
п.5, удаление "лишних" строк матрицы
не меняет
размерностный многочлен этой матрицы, значит, не меняет и
значение
. Кроме того, если любой элемент
матрицы
равен либо 0, либо
1, то из следствия 13.6 вытекает,
что удаление "лишних" столбцов матрицы
не меняет
значения
(
-й столбец матрицы
называется "лишним", если существует число
,
такое, что
и
для
всех
).
Таким образом, в ходе
вычисления (где
-
-матрица, состоящая из 0 и 1) мы можем прежде всего отбросить "лишние"
строки и столбцы (по п.5 леммы 13.3, эти вычисления сопровождаются соответствующими
изменениями знака
), а затем отбросить строки и столбцы,
удовлетворяющие соотношениям леммы
13.5. Затем мы можем выбрать одну из
следующих альтернатив:
воспользоваться леммой 13.5 для
вычисления
(где
- матрица,
полученная из
с помощью описанного выше процесса сокращения) или
вычислить
, воспользовавшись
леммой 13.7, т. е.
"раскладывая"
по строкам и столбцам соответственно.
Очевидно, что если число строк матрицы
больше числа ее
столбцов, то предпочтительнее
"движение по столбцам" с помощью леммы 13.5, в противном случае для
вычисления
целесообразно воспользоваться леммой 13.7.