НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 12: Интегрирование логарифмических и экспоненциальных функций. Решение дифференциального уравнения Риша

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 27 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: В данной лекции рассматривается интегрирование логарифмических и экспоненциальных функций, а также решение дифференциального уравнения Риша. Приведены практические примеры и алгоритмы, а также предоставлены задачи для самостоятельного рассмотрения

Ключевые слова: переменная, поле, алгоритм, неопределенный интеграл, интеграл, доказательство, алгебраические, константы, дифференцирование, тождество, старший коэффициент, дифференциальное уравнение, полином, метод неопределенных коэффициентов, VAD, интегрирование, экспонента, натуральное число, функция, многочлен, степенные ряды, значение, множитель, место, коэффициенты, неравенство, выражение, операции, остаток от деления, решение дифференциального уравнения

Интегрирование логарифмических функций

Пусть $\theta _0=x$ - независимая переменная над вычислимым полем констант , $\theta _1,\dots,\theta _n$ - последовательность регулярных мономов, $\EuScript F=\EuScript F_n=K(\theta _0,\theta _1,\dots,\theta _n)$ - соответствующее поле элементарных функций, $f\in \EuScript F$ . Предположим, что n>0 , $\theta =\theta _n$ - логарифм над $\EuScript F_{n-1}=K(\theta _0,\theta _1,\dots,\theta _{n-1})$ и что мы умеем интегрировать функции из поля $\EuScript F_{n-1}$ . Опишем алгоритм, позволяющий найти неопределенный интеграл функции , если он является элементарной функцией, или доказать, что в элементарных функциях неинтегрируема.

Пусть $f(\theta )=p(\theta )+\frac {r(\theta )}{q(\theta )}$ - разложение функции в сумму полинома и правильной рациональной дроби (как рациональной функции от $\theta$ с коэффициентами из поля $\EuScript F_{n-1}$ ). Прежде всего покажем, что можно отдельно рассматривать задачу для полиномиальной части $p(\theta )$ и рациональной части $\frac {r(\theta )}{q(\theta )}$ .

25.1. ЛЕММА (о разложении). Элементарный интеграл функции $f(\theta )=p(\theta )+\frac {r(\theta )}{q(\theta )}$ существует тогда и только тогда, когда существуют элементарные интегралы функций $p(\theta )$ и $\smash[t]{\frac {r(\theta )}{q(\theta )}}$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно теореме Лиувилля, если элементарный интеграл существует, то он имеет вид $g=v_0+\smash[b]{\sum\limits_{i=1}^m}c_i\log v_i$ , т. е. функцию можно представить в виде

$\begin{equation} f=v'_0+\sum _{i=1}^mc_i\frac {v'_i}{v_i}, \end{equation}$

( 25.1)

где $v_0\in \EuScript F$ , c_i

- алгебраические над

константы, v_i

$(i=1,\dots,m)$ - элементы из дифференциального поля, получающегося присоединением к $\EuScript F$ конечного числа алгебраических над

констант. Дифференцирование

означает дифференцирование по

. Рассматривая (25.1) как тождество в поле $\EuScript F_{n-1}(\theta )$ , мы без потери общности можем предполагать, что v_i

$(1\leq i<k;\ k\geq 1)$ - нормированные (со старшим коэффициентом, равным 1) полиномы от $\theta$ , а v_i

для $k\leq i\leq m$ - элементы поля $\EuScript F_{n-1}$ . Разложим v_0

в сумму полинома $\tilde p(\theta )$ от $\theta$ и правильной рациональной дроби $\frac {\tilde r(\theta )}{\tilde q(\theta )}$ от $\theta$ . Заметим, что $\deg_\theta v'_i(\theta)<\deg_\theta v_i(\theta)$ (используется то, что старший коэффициент равен 1 и $\theta'\in \EuScript F_{n-1}$ ). Учитывая дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет $\theta$ , после дифференцирования суммы $\tilde p(\theta )+ \sum\limits_{i=k}^mc_i\frac {v'_i}{v_i}$ по

мы получаем полином от $\theta$ с коэффициентами в поле $\EuScript F_{n-1}$ , а продифференцировав по

правильную рациональную функцию (от $\theta$ ), снова получаем правильную рациональную функцию. Лемма о разложении теперь следует из единственности представления произвольной рациональной функции в виде суммы полинома и правильной рациональной функции.

Интегрирование полиномиальной части

Сначала проинтегрируем полиномиальную часть $p(\theta )$ .

Пусть $d=\deg_\theta p(\theta)$ , $\tilde d=\deg_\theta\tilde p(\theta)$ . Прежде всего покажем, что $\tilde d\leq d+1$ . Для этого проверим, что при дифференцировании по полинома от $\theta$ его степень уменьшается не более, чем на 1. Учитывая, что $\theta '\in \EuScript F_{n-1}$ , видим, что степень полинома $(B\theta ^i)'=B'\theta ^i+iB\theta ^{i-1}\theta '$ равна , если $B'\neq 0$ , т. е. не является константой. Для того, чтобы степень полинома $\sum\limits_{i=0}^k B_i\theta ^i$ при дифференцировании по понизилась не менее, чем на два, требуется выполнение следующих условий: $B_k=\const$ , т. е. B'_k=0 и $kB_k\theta '+B'_{k-1}=0$ , т. е. $\theta '=-\frac 1{kB_k} B'_{k-1}$ . Интегрируя выписанное соотношение, получаем $\theta=-\frac 1{kB_k} B_{k-1}+c$ , где - константа интегрирования. По предположению, $\theta$ является регулярным мономом, т. е. трансцендентен над полем $\EuScript F_{n-1}$ , которому принадлежит правая часть. Таким образом полученное противоречие показывает, что при дифференцировании по полинома от $\theta$ его степень понижается не более, чем на 1.

Интегрируем полиномиальную часть методом неопределенных коэффициентов. Пусть $p(\theta )=\sum\limits_{i=0}^d A_i\theta^i$ , $\tilde p(\theta )=\sum\limits_{i=0}^{d+1} B_i\theta^i$ , $B_i\in\EuScript F_{n-1}$ при $i\geq 1$ , B_0 принадлежит некоторому элементарному расширению поля $\EuScript F_{n-1}$ . Как показано в предыдущем абзаце, старший коэффициент $B_{d+1}$ является константой, обозначим ее $b_{d+1}$ . Для нахождения остальных коэффициентов B_i , $i=d,d-1,\dots,0$ , мы получаем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\theta$ , систему дифференциальных уравнений

$\begin{equation} A_i=B'_i+(i+1)B_{i+1}\theta '. \end{equation}$

( 25.2)

Предположим, что элемент $B_{i+1}$ уже определен с точностью до аддитивной константы $b_{i+1}$ (в частности, можно считать, что $B_{d+1}=0$ ). Для определения константы $b_{i+1}$ и элемента B_i

рассмотрим подробнее уравнение (25.2). Перепишем это уравнение в виде

$B_i=\int (A_i-(i+1)(B_{i+1}+b_{i+1})\theta ') = -(i+1)b_{i+1}\theta +\int A_i-(i+1)B_{i+1}\theta '.$

Элемент $A_i-(i+1)B_{i+1}\theta'$ принадлежит полю $\EuScript F_{n-1}$ , и мы можем по предположению индукции его проинтегрировать. Необходимым условием интегрируемости исходной функции в классе элементарных функций является то, что $\int A_i-(i+1)B_{i+1}\theta '=c_i\theta +\alpha$ , где c_i

- константа (алгебраическая над

), а $\alpha \in \EuScript F_{n-1}$ . Если же это условие выполнено, то мы получаем значение константы $b_{i+1}=-\frac {c_i}{(i+1)}$ и значение коэффициента B_i

. Интегрируя уравнение (25.2) при i=0

, т. е. вычисляя B_0

, нужно отказаться от условия $\alpha\in\EuScript F_{n-1}$ , достаточно, чтобы существовал элементарный интеграл $\int A_0-B_1\theta'$ . Этот интеграл определяется с точностью до аддитивной константы, которая является константой интегрирования и не может быть определена при рассматриваемой постановке задачи.

Дальше >>

Введение в компьютерную алгебру

Введение в компьютерную алгебру

Интегрирование логарифмических и экспоненциальных функций. Решение дифференциального уравнения Риша

Интегрирование логарифмических функций

Интегрирование полиномиальной части

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в компьютерную алгебру

Введение в компьютерную алгебру

Интегрирование логарифмических и экспоненциальных функций. Решение дифференциального уравнения Риша

Интегрирование логарифмических функций

Интегрирование полиномиальной части

Вопросы и ответы

Студенты