Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? |
Интегрирование логарифмических и экспоненциальных функций. Решение дифференциального уравнения Риша
Решение дифференциального уравнения Риша
27.1. ТЕОРЕМА (Риш).
Пусть . Тогда можно за конечное число шагов
найти элементы
и систему линейных
уравнений
от
неизвестных с коэффициентами в
поле
, такие, что уравнение
![]() |
( 27.1) |






ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Основание индукции: ,
.
Доказательство теоремы в этом случае проведем в два этапа: сначала избавляемся от знаменателей, затем решаем полиномиальное уравнение.
Этап 1.
Пусть удовлетворяет уравнению (27.1). Мы можем записать
,
и пусть
- неприводимый в кольце
многочлен со старшим коэффициентом равным 1, делящий
. Предположим, что
делит
, а
не
делит
. Воспользуемся техникой
-адических
расширений и запишем
![]() |
( 27.2) |
![A, B, C\in K[x]](/sites/default/files/tex_cache/78236e96eb2bbb8e3bdda93a03a0aba4.png)













![]() |
( 27.3) |





















Заметим, что множитель может появиться в
только в том случае, если на
делится знаменатель хотя бы одного
из элементов
. Действительно, в противном случае
и если
, то слагаемое
не может ни с чем
сократиться. Таким образом, у нас имеется только конечное число неприводимых
сомножителей
, которые могут появляться в
знаменателе элемента
, и степени этих сомножителей ограничены
вычисляемыми константами
. Положим
. Тогда
является многочленом (для любого
решения
исходного уравнения).
После подстановки в уравнение (27.1) и умножения получившегося уравнения на
,
получаем уравнение вида
![]() |
( 27.4) |
![R,V,T_i\in K[x]](/sites/default/files/tex_cache/53d0e66567a17a88791556e4ef3b7a06.png)

Этап 2.
Тот же метод применим для ограничения сверху степени неизвестного многочлена . Запишем
![]() |
( 27.5) |


![]() |
( 27.6) |
Сравнивая старшие одночлены в правой и левой частях, снова получаем две возможности:
![]() |
( 27.7) |
![]() |
( 27.8) |

![]() |
( 27.9) |



Шаг индукции: Предположим, теорема доказана для дифференциального
поля , и докажем
ее для дифференциального поля
, где для
упрощения записи мы будем использовать обозначение
.
Случаи, когда
является логарифмом и экспонентой, будем
рассматривать раздельно.
Случай 1. .
Доказательство следует тем же путем, что и при .
Этап 1 проходит практически без изменений. Отметим только, что без потери
общности мы можем считать многочлен нормированным,
т. е. его старший коэффициент равен 1. В этом случае
(мы рассматриваем операцию дифференцирования в
дифференциальном поле
, т. е.
, если
- некоторое поле функций, а степени многочленов
рассматриваем
относительно переменной
).
Логика этапа 2 остается такой же, но уравнение (27.6) принимает теперь вид
![]() |
( 27.10) |
Здесь нужно рассматривать отдельно два подслучая: и
. Как и прежде, пусть
обозначает верхнюю
границу для
.
Выделяя старшие одночлены в слагаемых и сравнивая их степени, получаем следующие ограничения:
если , то либо
либо
;
если , то либо
либо
.
Как и в случае , вторая возможность в обоих случаях требует
более детального рассмотрения.
Подслучай 1 . Неравенство
может иметь место только тогда, когда





Второе уравнение можно переписать в виде











![]() |
( 27.11) |
![R,V,T_i\in \EuScript D[\theta]](/sites/default/files/tex_cache/48c3101d3fe2cfecde10023a787423ce.png)





Подслучай 2 . Неравенство
может иметь место только тогда, когда






Окончание доказательства этапа 2 ничем не отличается от случая .
Случай 2. , т. е.
.
В этом случае при дифференцировании степень многочлена от не понижается, поэтому доказательство этапа 1, проведенное
выше, дословно не проходит (там существенно используется, что
). В данном случае нужно вместо
рассматривать
остаток от деления
на
, т. е. такой многочлен
, что
и
. Случай
соответствует тому, что
, где
.
Следовательно,
равняется отношению старших коэффициентов
многочленов
и
. Поскольку мы предполагаем, что
старший коэффициент многочлена
равен 1,
равно старшему
коэффициенту многочлена
, который равен
,
где
степень многочлена
(и
).
Решение дифференциального уравнения
определено с точностью до мультипликативной константы
и имеет вид
. Из условия
нормированности следует, что
, а из неприводимости
следует, что
.
Для неприводимых многочленов отличных от
этап 1 проходит с заменой
на
, поскольку
единственное место, где
мы по-существу пользовались тем, что
- ненулевой
многочлен, степень которого меньше степени
, это уравнение
(27.3), главный член первого слагамого в котором теперь принимает вид
, главный член первого
слагамого в котором теперь принимает
вид
.
Таким образом, на этапе 2 нам нужно рассматривать обобщенные многочлены,
т. е. выражения вида и
ограничивать их степени сверху и снизу. Вычисления для верхней и нижней оценок
абсолютно аналогичны. Заметим, что дифференцируя
одночлен
, мы получаем одночлен той же степени
(
), при этом нулевой результат может получиться только
при
,
поскольку
и решение
дифференциального уравнения
имеет
вид
, что при
не принадлежит
полю
.
Детали доказательства оставляются читателю в качестве упражнения.