НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 12: Интегрирование логарифмических и экспоненциальных функций. Решение дифференциального уравнения Риша

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Решение дифференциального уравнения Риша

27.1. ТЕОРЕМА (Риш). Пусть $f,g_1,\dots,g_s\in\cF$ . Тогда можно за конечное число шагов найти элементы $h_1,\dots,h_r\in\cF$ и систему линейных уравнений от s+r неизвестных с коэффициентами в поле , такие, что уравнение

$\begin{equation} y'+fy=\sum_{i=1}^s c_ig_i, \end{equation}$

( 27.1)

выполняется для $y\in \cF$ и $c_i\in K$ тогда и только тогда, когда $y=\sum\limits_{i=1}^r y_ih_i$ , где $y_i\in K$ и константы $c_1,\dots,c_s,y_1,\dots,y_r$ удовлетворяют системе

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Основание индукции: n=0 , $\cF=K(x)$ .

Доказательство теоремы в этом случае проведем в два этапа: сначала избавляемся от знаменателей, затем решаем полиномиальное уравнение.

Этап 1. Пусть $y\in\cF$ удовлетворяет уравнению (27.1). Мы можем записать y=P(x)/Q(x) , и пусть q(x) - неприводимый в кольце K[x] многочлен со старшим коэффициентом равным 1, делящий Q(x) . Предположим, что q^k(x) делит Q(x) , а $q^{k+1}(x)$ не делит Q(x) . Воспользуемся техникой -адических расширений и запишем

$\begin{equation} y=\frac A{q^k}+\dots,\qquad f=\frac B{q^l}+\dots,\qquad \sum c_ig_i=\frac C{q^m}+\dots, \end{equation}$

( 27.2)

где $A, B, C\in K[x]$ , $\deg_x A<\deg_xq$ , $\deg_xB<\deg_xq$ , $\deg_xC<\deg_xq$ , а точками обозначены слагаемые, имеющие в знаменателе

в меньшей степени, чем главный член (эти слагаемые могут также включать степенной ряд). Заметим, что

и

нам известны, т.\;к. известна функция

, а также нам известно ограничение на

сверху (максимальное значение

соответствующего показателя для функций g_i

). Поскольку c_i

могут принимать любые значения,

может не совпадать с

. Подставляя выражения (27.2) в уравнение (27.1), получим

$\begin{equation} \frac{-kAq'}{q^{k+1}}+\dots+ \frac{AB}{q^{k+l}}+\dots =\frac C{q^m}+\dots \end{equation}$

( 27.3)

Многочлен

является неприводимым, следовательно, выписанные слагаемые не допускают сокращения числителя и знаменателя (

не делит ни Aq'

, ни

). Выделяя главный член разложения по 1/q

, получим или

$\begin{cases} k+1\le m\le m',\\ k+l\le m\le m',\end{cases}$

или

. Последняя возможность встречается только в том случае, когда два старших члена в соотношении (27.3) взаимно сократятся, т. е.

делит

, следовательно,

делит

, а так как $\deg B<\deg q$ и $\deg q'<\deg q$ , то -kq'+B=0

, т. е.

. Таким образом, число

ограничено сверху числом $\max(m'-1,m'-l,B/q')$ , где B/q'

появляется только в том случае, если оно является целым числом. Мы получили вычислимую границу для

и можем в уравнении (27.1) перейти к новой неизвестной функции yq^k

, знаменатель которой не делится на

.

Заметим, что множитель может появиться в только в том случае, если на делится знаменатель хотя бы одного из элементов $f, g_1,\dots,g_s$ . Действительно, в противном случае m'=l=0 и если k>0 , то слагаемое $-Akq'/q^{k+1}$ не может ни с чем сократиться. Таким образом, у нас имеется только конечное число неприводимых сомножителей q_i , которые могут появляться в знаменателе элемента , и степени этих сомножителей ограничены вычисляемыми константами k_i . Положим $Y=y\cdot\prod q_i^{k_i}$ . Тогда является многочленом (для любого решения $y\in\cF$ исходного уравнения).

После подстановки $y=Y/\prod q_i^{k_i}$ в уравнение (27.1) и умножения получившегося уравнения на $\prod q_i^{k_i}$ , получаем уравнение вида

$\begin{equation} RY'+VY=\sum c_iT_i, \end{equation}$

( 27.4)

где $R,V,T_i\in K[x]$ и не зависят от c_i

, которые все еще не определены.

Этап 2. Тот же метод применим для ограничения сверху степени неизвестного многочлена . Запишем

$\begin{equation} \aligned Y&=y_0x^a+\dots, \\ R&=r_0x^b+\dots, \\ V&=v_0x^c+\dots, \\ \sum c_iT_i&=t_0x^d+\dots, \endaligned \end{equation}$

( 27.5)

где, как и прежде, мы не знаем точного значения

, а имеем ограничение $d\le d'=\max_{i=1}^s(\deg_x T_i)$ . Подставляя (27.5) в уравнение (27.4), получим

$\begin{equation} (r_0x^b+\dots)(ay_0x^{a-1}+\dots)+(v_0x^c+\dots)(y_0x^a+\dots)=t_0x^d+\dots \end{equation}$

( 27.6)

Сравнивая старшие одночлены в правой и левой частях, снова получаем две возможности:

$\begin{equation} \begin{cases} a+b-1\le d\le d',\\ a+c\le d\le d'\end{cases}\quad\text{или}\quad a+b-1=a+c>d. \end{equation}$

( 27.7)

Второй случай имеет место только тогда, когда старшие одночлены двух слагаемых в левой части взаимно уничтожаются, т. е.

$\begin{equation} ay_0r_0+y_0v_0=0. \end{equation}$

( 27.8)

Таким образом получаем границу для

, а именно,

$\begin{equation} a\le\max(d'-b-1,d'-c,-v_0/r_0), \end{equation}$

( 27.9)

где последнее число появляется только в том случае, если оно целое и c=b-1

. Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной

в уравнении (27.6), получаем требуемую систему

линейных уравнений.

Шаг индукции: Предположим, теорема доказана для дифференциального поля $\EuScript D=K(x,\theta_1,\dots,\theta_{n-1})$ , и докажем ее для дифференциального поля $\EuScript F=\EuScript D(\theta_n)$ , где для упрощения записи мы будем использовать обозначение $\theta=\theta_n$ . Случаи, когда $\theta$ является логарифмом и экспонентой, будем рассматривать раздельно.

Случай 1. $\theta=\log\eta$ .

Доказательство следует тем же путем, что и при n=0 .

Этап 1 проходит практически без изменений. Отметим только, что без потери общности мы можем считать многочлен нормированным, т. е. его старший коэффициент равен 1. В этом случае $\deg q'<\deg q$ (мы рассматриваем операцию дифференцирования в дифференциальном поле $\EuScript F$ , т. е. q'=q'_x , если $\EuScript F$ - некоторое поле функций, а степени многочленов рассматриваем относительно переменной $\theta$ ).

Логика этапа 2 остается такой же, но уравнение (27.6) принимает теперь вид

$\begin{multiline} (r_0\theta^b+\dots)\bigl(y'_0\theta^a+(y'_1+a\eta'/\eta)\theta^{a-1}+\dots\bigr)+(v_0\theta^c+\dots)(y_0\theta^a+\dots) =t_0\theta^d+\dots \end{multiline}$

( 27.10)

Здесь нужно рассматривать отдельно два подслучая: y'_0=0 и $y'_0\ne0$ . Как и прежде, пусть обозначает верхнюю границу для .

Выделяя старшие одночлены в слагаемых и сравнивая их степени, получаем следующие ограничения:

если $y'_0\ne0$ , то либо $\begin{cases} a+b\le d'+1,\\a+c\le d'+1,\end{cases}$ либо a+b=a+c>d'+1 ;

если y'_0=0 , то либо $\begin{cases} a+b-1\le d',\\a+c\le d',\end{cases}$ либо a+b-1=a+c>d' .

Как и в случае n=0 , вторая возможность в обоих случаях требует более детального рассмотрения.

Подслучай 1 $y'_0\ne0$ . Неравенство a+b=a+c>d'+1 может иметь место только тогда, когда

$\begin{multiple} r_0y'_0+v_0y_0&=0\qquad\text{и} \\ r_0(y_1'+a\eta'y_0/\eta)+r_1y'_0+v_0y_1+v_1y_0&=0. \end{multiple}$

(Заметим, что в отличие от случая n=0

мы приравниваем нулю два старших коэффициента, поскольку старший коэффициент не зависит от

. Соответственно, этим же объясняется замена неравенства a+b=a+c>d'

на

.)

Второе уравнение можно переписать в виде

$r_0y_1'+v_0y_1+r_1y'_0+(a(\eta'/\eta)r_0+v_1)y_0=0.$

Обозначая $y_1/y_0=w\in\EuScript D$ , переписываем это уравнение в виде

$r_0y_0w'+(r_0y'_0+v_0y_0)w+r_1y'_0+(a(\eta'/\eta)r_0+v_1)y_0=0.$

Подставляя сюда y'_0=-v_0y_0/r_0

из первого уравнения, получаем

$w'+r_1v_0/r_0^2+v_1/r_0+a\genfrac(){}{}{\eta'}\eta=0.$

После интегрирования этого соотношения получаем

$\int\frac{r_1v_0-r_0v_1}{r_0^2}=w+a\log\eta.$

Подынтегральное выражение в левой части лежит в дифференциальном поле $\EuScript D$ , и по предположению индукции мы можем его проинтегрировать. Согласно принципа Лиувилля результат интегрирования (определенный с точностью до аддитивной константы) представляется в виде суммы рациональной функции (из поля $\EuScript D$ , а точнее его конечного расширения, получаемого присоединением конечного числа алгебраических над

констант) и логарифмической части. Эта логарифмическая часть определена однозначно, и если ее нельзя представить в виде $a\theta$ , где

- целое положительное число, то старший член решения уравнения

$\begin{equation} RY'+VY=\sum c_iT_i, \end{equation}$

( 27.11)

где $R,V,T_i\in \EuScript D[\theta]$ и не зависят от c_i

, не может иметь вид $y_0\theta^a$ , где $y'_0\ne0$ и

удовлетворяет неравенству a+b=a+c>d'+1

.

Подслучай 2 y'_0=0 . Неравенство a+b-1=a+c>d' может иметь место только тогда, когда

$r_0(y_1'+a\eta'y_0/\eta)+v_0y_1+v_1y_0=0,$

что после интегрирования дает

$\int\frac{v_0}{r_0}=-\frac{y_1}{y_0}-a\log\eta.$

Это соотношение дает другое возможное значение

. Заметим, что в этом случае мы снова воспользовались предположением индукции для выполнения операции интегрирования. Отметим также, что для каждого конкретного уравнения вида (27.11) нужно рассматривать не более одного интеграла, в зависимости от того, какое условие b=c

или

имеет место; если ни одно из этих равенств не выполняется, то $a\le \min(d'+1-b,d'+1-c)$ .

Окончание доказательства этапа 2 ничем не отличается от случая n=0 .

Случай 2. $\theta=\exp(\eta)$ , т. е. $\theta'=\eta'\theta$ .

В этом случае при дифференцировании степень многочлена от $\theta$ не понижается, поэтому доказательство этапа 1, проведенное выше, дословно не проходит (там существенно используется, что $\deg(q')< \deg(q)$ ). В данном случае нужно вместо рассматривать остаток от деления на , т. е. такой многочлен q_1 , что $q_1\equiv q'\pmod q$ и $\deg(q_1)<\deg(q)$ . Случай q_1=0 соответствует тому, что $q'=\beta q$ , где $\beta\in\EuScript D$ . Следовательно, $\beta$ равняется отношению старших коэффициентов многочленов и . Поскольку мы предполагаем, что старший коэффициент многочлена равен 1, $\beta$ равно старшему коэффициенту многочлена , который равен $k\eta'$ , где степень многочлена (и ). Решение дифференциального уравнения $q'=k\eta' q$ определено с точностью до мультипликативной константы и имеет вид $q=c\cdot \exp(k\eta)=c\theta^k$ . Из условия нормированности следует, что c=1 , а из неприводимости следует, что k=1 .

Для неприводимых многочленов отличных от $\theta$ этап 1 проходит с заменой на q_1 , поскольку единственное место, где мы по-существу пользовались тем, что - ненулевой многочлен, степень которого меньше степени , это уравнение (27.3), главный член первого слагамого в котором теперь принимает вид $\frac{-kAq_1}{q^{k+1})$ , главный член первого слагамого в котором теперь принимает вид $\frac{-kAq_1}{q^{k+1}$ .

Таким образом, на этапе 2 нам нужно рассматривать обобщенные многочлены, т. е. выражения вида $\sum\limits_{-m\le i \le k}A_i\theta^i$ и ограничивать их степени сверху и снизу. Вычисления для верхней и нижней оценок абсолютно аналогичны. Заметим, что дифференцируя одночлен $A_i\theta^i$ , мы получаем одночлен той же степени ( ), при этом нулевой результат может получиться только при i=0 , поскольку $(A_i\theta^i)'=(A'_i+A_ii\eta')\theta^i$ и решение дифференциального уравнения $A'_i+A_ii\eta'=0$ имеет вид $A_i=c\cdot\theta^{-i}$ , что при $i\ne0$ не принадлежит полю $\EuScript D$ .