Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? |
Алгоритмы вычисления размерностных многочленов
13.1. ЛЕММА.
Пусть дана -матрица









ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть
,
и
(
и
обозначают
-е
строки матриц
и
соответственно). Покажем, что
равенство
эквивалентно равенству
. Действительно, если
, то
, так что для
каждого
существует индекс
,
такой, что
. Таким образом,
-й элемент
строки
равен 1, следовательно,
. Обратно, если
, то для каждого
существует число
, такое, что
,
т. е.
. Поэтому,
,
следовательно,
(так как элемент
больше любой строки матрицы
или равен ей). Таким образом,

Рассмотрим свойства размерностных многочленов матриц, состоящих из 0 и 1
(такова, например, матрица в лемме
13.1). Длякраткости будем писать
вместо
, где
-
-матрица и
.
13.2. ЛЕММА. Пусть -
-матрица, состоящая из 0 и 1, и
- ее многочлен Гильберта. Тогда
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По (12.4) имеем
![]() |
( 13.4) |






Из леммы 13.2 следует, что
![]() |
( 13.5) |






13.3. ЛЕММА.
Пусть -
-матрица, состоящая из
0 и 1. Тогда
- если
содержит нулевую строку, то
;
- если
содержит нулевой столбец, то
;
- значение
инвариантно относительно перестановки строк (или столбцов) матрицы
;
- если
состоит из одной строки
, то
;
- если первая строка матрицы
равна
и первые элементы остальных строк равны 0, то
, где матрица
получена из
удалением первой строки и первого столбца.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Все утверждения леммы следуют из (13.5) и из доказанных выше свойств
размерностного многочлена
матрицы .
(1) Если содержит нулевую строку, то
(см. теорему 12.8(6).
Применяя лемму 13.2, получаем
.
(2) Если каждый элемент -го столбца матрицы
равен нулю
, то из формулы (13.2) следует, что
(действительно, в обозначениях
формулы (13.2)
-ая координата любого вектора
равна нулю, так что
ни для
какого подмножества
).
(3) Очевидно, что перестановка строк (или столбцов) матрицы
не меняет значения
, а, значит, и значения
(см. утверждения (3) и (4) теоремы 12.8).
(4) Пусть состоит из одной строки
. Поскольку




(5) По теореме 12.8(8) имеем , следовательно,
.
Пусть
-
-матрица над
,
- множество строк
матрицы
и
- элемент
множества
. Пусть
обозначает
-матрицу,
полученную присоединением строки
к матрице
(без потери общности можно
предполагать, что
является
-й строкой матрицы
). Следующая лемма устанавливает связь между
размерностными многочленами матриц
и
. Как и выше,
обозначает сумму
всех элементов
матрицы
(в частности,
обозначает сумму всех координат элемента
).