НОУ ИНТУИТ | Криптографические методы защиты информации. Лекция 3: Алгебраические системы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 02.03.2017 | Уровень: для всех | Доступ: свободно

|

Вам нравится? Нравится 55 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

3.2 Индексы

Пусть - группа, - её элемент, $b={a}^{k} \in {\langle}a{\rangle}$ . Число называется дискретным логарифмом элемента по основанию (пишут $k={\log }_{a}b$ ). В случае, когда - примитивный корень по модулю , дискретный логарифм ещё называют индексом числа по модулю при основании . Пишут: $k=ind_{a}b$ . Когда примитивный корень фиксирован, можно также писать: $k=ind\ b$ .

Дискретное логарифмирование в произвольной группе является трудноразрешимой задачей. Приведём один из примеров, когда оно всё-таки легко осуществимо.

Пример 3.7 Вычислить дискретный логарифм числа по основанию по модулю .

Решение. Порядок мультипликативной группы поля вычетов по модулю 102673 равен $102672={2}^{4} \cdot {3}^{2} \cdot 23 \cdot 31$ . Число, являющееся произведением большого количества небольших чисел, называется гладким. Для дискретного логарифмирования в таком поле существует алгоритм Полига-Хэллмана, который мы сейчас применим.

Если - решение нашей задачи, и x_1 , x_2 , x_3 , x_4 - остатки от деления на , , и соответственно, то

$\begin{center} \begin{tabular}{ll} ${\left({5}^{{M}_{1}}\right)}^{{x}_{1}}=\left({a}^{{M}_{1}}\right)~(\mod p)$,& ${\left({5}^{{M}_{2}}\right)}^{{x}_{2}}=\left({a}^{{M}_{2}}\right)~(\mod p)$, \\ ${\left({5}^{{M}_{3}}\right)}^{{x}_{3}}=\left({a}^{{M}_{3}}\right)~(\mod p)$, & ${\left({5}^{{M}_{4}}\right)}^{{x}_{4}}=\left({a}^{{M}_{4}}\right)~(\mod p)$,\\ \end{tabular} \end{center}$

где

${M}_{1}=\frac{p-1}{16},{M}_{2}=\frac{p-1}{9},{M}_{3}=\frac{p-1}{23},{M}_{4}=\frac{p-1}{31}.$

Наоборот, если мы найдём x_1 , x_2 , x_3 и x_4 , а решение задачи всегда существует (так как - примитивный корень), то будет совпадать с единственным решением системы:

$\left\{\begin{array}{l}x'=x_1 ~(\mod 16), \\ x'=x_2 ~(\mod 9), \\ x'=x_3 ~(\mod 23),\\ x'=x_4 ~(\mod 31). \end{array}\right.$

Итак, для решения задачи, по китайской теореме об остатках нужно найти:

$\begin{center} \begin{tabular}{ll} ${M}_{1}=6417,$& ${\widetilde{{M}}}_{1}={M}_{1}^{-1}=1~(\mod 16);$ \\ ${M}_{2}=11408,$ & ${\widetilde{{M}}}_{2}={M}_{2}^{-1}=2~(\mod 9);$ \\ ${M}_{3}=4464,$ & ${\widetilde{{M}}}_{3}={M}_{3}^{-1}=12~(\mod 23);$ \\ ${M}_{4}=3312,$ & ${\widetilde{{M}}}_{4}={M}_{4}^{-1}=6~(\mod 31);$ \end{tabular} \end{center} \end{center}$

$x={x}_{1} \cdot {M}_{1} \cdot {\widetilde{{M}}}_{1}+{x}_{2} \cdot {M}_{2} \cdot {\widetilde{{M}}}_{2}+{x}_{3} \cdot {M}_{3} \cdot {\widetilde{{M}}}_{3}+{x}_{4} \cdot {M}_{4} \cdot {\widetilde{{M}}}_{4}=\\6417{x}_{1}+22816{x}_{2}+53568{x}_{3}+19872{x}_{4}.$

Следовательно, нам нужно найти x_1 , x_2 , x_3 , x_4 .

Имеем:

$\begin{center} \begin{tabular}{ll} ${97697}^{{x}_{1}}=55814~(\mod p),$ & ${170}^{{x}_{2}}=29684~(\mod p),$\\ ${24920}^{{x}_{3}}=56216~(\mod p),$ & ${64646}^{{x}_{4}}=18591~(\mod p).$ \end{tabular} \end{center}$

Поскольку порядок группы ${\langle}{5}^{{M}_{3}}{\rangle}$ равен 23, а группы ${\langle}{5}^{{M}_{4}}{\rangle}$ - всего 31, то при различных x_3 , x_4 величины ${24920}^{{x}_{3}}$ и ${64646}^{{x}_{4}}$ пробегают, соответственно, по 23 и 31 различным значениям.

Тогда x_3 и x_4 можно найти полным перебором, проверив $x_3=0,1,\ldots,22$ , $x_3=0,1,\ldots,30$ . В нашем случае ${x}_{3}=14$ , ${x}_{4}=12$ . Числа ${x}_{1}$ и ${x}_{2}$ также можно искать полным перебором, но для них можно ещё уменьшить количество попыток. Будем искать

${x}_{1}={x}_{1,1}+2{x}_{1,2}+4{x}_{1,3}+8{x}_{1,4},$

где ${x}_{1,i} \in \left\{0,1\right\}.$

Имеем:

${\left({97697}^{{x}_{1}}\right)}^{8}={\left({97697}^{8}~(\mod p)\right)}^{{x}_{1.1}}={(-1)}^{{x}_{1,1}}={55814}^{8}=(-1)~(\mod p).$

То есть $(-1)^{x_{1,1}} = -1$ . Отсюда ${x}_{1,1}=1.$

Далее,

${\left({97697}^{{x}_{1}}\right)}^{4}={97697}^{4+8{x}_{1,2}}=15467 \cdot {(-1)}^{{x}_{1,2}}={55814}^{4}=87206~(\mod p).$

Проверим оба варианта $x_{1,2}=0,1$ :

$15467 \cdot {(-1)}^{0} \neq 87206~(\mod p),$

$15467 \cdot {(-1)}^{1} = 87206~(\mod p).$

Отсюда ${x}_{1,2}=1$ .

Далее,

${\left({97697}^{{x}_{1}}\right)}^{2}={97697}^{2+4+8{x}_{1,3}}=101570 \cdot {\left(-1\right)}^{{x}_{1,3}}={55814}^{2}=1103~(\mod p).$

Опять, из двух вариантов выбираем верный: ${x}_{1,3}=1$ .

Наконец,

${97697}^{1+2+4+8{x}_{1,4}}=46859 \cdot {\left(-1\right)}^{{x}_{1,4}}=55814~(\mod p),$

откуда ${x}_{1,4}=1.$ Проверяем:

${97697}^{15}=55814~(\mod p)\Rightarrow {x}_{1}=15.$

Аналогично находим ${x}_{2}={x}_{2,1}+3{x}_{2,2}=5$ .

По китайской теореме об остатках находим x=69359 .

Для небольших бывает удобно вычислять все степени примитивного корня и строить на основе этих вычислений две таблицы, называемые таблицами индексов. Таблицы индексов используются для быстрого решения некоторых задач по модулю простого числа .

Приведем эти таблицы для примитивного корня 2 по модулю 37:

Индекс по числу
	0	1	2	3
0		24	25	14
1	0	30	22	9
2	1	28	31	5
3	26	11	15	20
4	2	33	29	8
5	23	13	10	19
6	27	4	12	18
7	32	7	6
8	3	17	34
9	16	35	21

Число по индексу
	0	1	2	3
0	1	25	33	11
1	2	13	29	22
2	4	26	21	7
3	8	15	5	14
4	16	30	10	28
5	32	23	20	19
6	27	9	3	1
7	17	18	6
8	34	36	12
9	31	35	24

Например, чтобы определить индекс по числу 13, нужно в первой таблице перейти к столбцу "1" и строке "3". Итак, ${ind}_{2}13=11$ . Наоборот, для нахождения числа по его индексу 11 нужно во второй таблице перейти в столбец "1" строку "1". Имеем: ${2}^{11}=13\mod37$ .

Пример 3.8 Решим с помощью таблицы индексов сравнение:

$8x=-11\mod37.$

Будем далее использовать примитивный корень и построенные для него выше таблицы. Правую часть сравнения заменяем положительным вычетом:

$8x=26\mod37.$

"Индексируем" левую и правую части сравнения:

${ind}\ 8+{ind}\ x={ind}\ 26~(\mod 36).$

Находим в первой таблице для простого числа 37 значение $ind\ 8$ и $ind\ 26$ и подставляем в сравнение. Получим:

$3+ind\ x=12~(\mod 36),$

Откуда

$ind\ x=9~(\mod 36).$

По второй таблице находим число, соответствующее индексу 9. Получим: $x=31~(\mod 37).$

Пример 3.9 С помощью индексов решить сравнение:

$13{x}^{4}=22~(\mod 37).$

Индексируем сравнение:

$ind\ 13+4\cdot ind\ x=ind\ 22.$

По первой таблице индексов находим: $ind\ 13=11$ , $ind\ 22=31$ . Отсюда: $11+4\cdot ind\ x=31~(\mod 36)$ , или $4 ind\ x=20~(\mod 36)$ . Последнему сравнению удовлетворяют $ind\ x=5,14,23,32$ . Для каждого из них по второй таблице индексов найдем x=32,30,5,7 .