НОУ ИНТУИТ | Криптографические методы защиты информации. Лекция 3: Алгебраические системы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 02.03.2017 | Уровень: для всех | Доступ: свободно

|

Вам нравится? Нравится 55 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

3.1.3 Коммутативные и ассоциативные операции

Определение 3.5 Бинарная операция $\ast$ на множестве называется ассоциативной, если $a\ast(b\ast c)=(a\ast b)\ast c$ для всех $a, b, c\in G$ .

Определение 3.6 Бинарная операция $\ast$ на множестве называется коммутативной, если $a\ast b = b\ast a$ для всех $a, b\in G$ .

Свойства ассоциативности и коммутативности независимы. Действительно, например операция на $m\ast n = -m-n$ на $\mathbb{Z}$ является коммутативной, но не ассоциативной, а операция умножения квадратных $n \times n$ -матриц - ассоциативна, но не коммутативна.

Пример 3.2

Операции сложения и умножения на множестве $\mathbb{R}$ действительных чисел коммутативны и ассоциативны.
Операция $\ast$ на множестве натуральных чисел, задаваемая формулой $m\ast n = m^n$ - некоммутативна (например, $3^2 = 9 \neq 8 =2^3$ ). Эта операция и неассоциативна (упражнение: приведите пример трех чисел таких, что $m\ast(n\ast k)\neq (m\ast n)\ast k$ .
Операция на множестве $\mathbb{R}$ , заданная формулой $a\ast b = (a+b)/2$ - коммутативна, но не ассоциативна.

3.1.4 Группы и полугруппы

Определение 3.7 Множество с определённой на нём ассоциативной бинарной операцией $\times$ называется полугруппой. Полугруппа, в которой есть нейтральный элемент, называется моноидом.

Примеры полугрупп.

$(\mathbb{N}, +)$ - полугруппа без нейтрального элемента.
$(\mathbb{N}, \cdot)$ - моноид.
$(\mathbb{Z}, +)$ - моноид.
$(\mathbb{N}, {\Delta})$ , где $a{\Delta}b=НОД(a, b)$ ,
$(\mathbb{N}, {\nabla})$ , где $a{\nabla}b=НОК(a, b)$ .
$(\mathbb{R}, {\wedge})$ , где $a{\wedge}b=\min\{a, b\}$ ,
$(\mathbb{R}, {\vee})$ , где $a{\vee}b=\max\{a, b\}$ .

Пусть - произвольное (непустое) множество. Зададимся вопросом: можно ли превратить в полугруппу? Другими словами, можно ли задать на какую-нибудь ассоциативную операцию? Ответ утвердительный. Более того, если неодноэлементно, то это можно сделать многими способами, а при бесконечном - бесконечным числом способов. Укажем несколько таких способов.

Положим для любых $x, y \in G$ . Очевидно, введенная операция ассоциативна. Полугруппу с такой операцией называют полугруппой левых нулей.
Положим для любых $x, y \in G$ . Этот пример полугруппы правых нулей аналогичен предыдущему.
Зафиксируем элемент $a \in G$ и положим для любых $x, y \in G$ . И эта операция , очевидно, ассоциативна.

Свободные полугруппы

Пусть - произвольное (непустое) множество. Будем называть алфавитом, а элементы - буквами. Через F(A) обозначим множество всех конечных последовательностей букв из . Зададим на F(A) операцию умножения, полагая $(a_1,\dots,a_m)\times (b_1, \dots, b_n)=(a_1,\dots,a_m,b_1,\dots,b_n)$ . Легко видеть, что эта операция (называемая иногда конкатенацией, то есть сцеплением) ассоциативна (упражнение: проверить), так что F(A) становится полугруппой, которая называется свободной полугруппой над алфавитом . Другое употребительное обозначение для нее : A^+ . Отождествляя последовательность из одной буквы с самой этой буквой и опуская в записи знак для конкатенации, элементы свободной полугруппы записывают в виде $a_1a_2\dots a_m$ и называют словами. По определению, слова $a_1a_2\dots a_m$ и $c_1c_2\dots c_k$ равны, если m = k и a_i=c_i при $i = 1,{\ldots}, m$ .

Свободные полугруппы играют важную роль как в общей теории полугрупп, так и в приложениях. Их прикладная роль объясняется, в частности, тем, что во многих процессах передачи информации передаваемые сообщения представляют собой цепочки символов ("реальных" букв или слов, других кодовых знаков, электрических сигналов и т.д.) и соединение двух таких цепочек есть не что иное, как конкатенация слов в подходящей свободной полугруппе. Свободные полугруппы (главным образом, над конечными алфавитами) являются исходным объектом в теории формальных языков и теории кодов, существенна их роль в теории автоматов. При этом обычно к элементам полугруппы F(A) добавляют так называемое пустое слово, не содержащее букв и играющее роль единицы при умножении, получается полугруппа с единицей, обозначаемая $A^\ast$ и называемая свободным моноидом над алфавитом .

Формальным языком называется произвольное подмножество некоторого свободного моноида.

Определение 3.8 Полугруппа с единицей, в которой для каждого элемента существует обратный, называется группой.

Определение 3.9 Если операция в группе обладает коммутативностью, т.е.

$a\times b=b\times a{\forall}a,b \in G,$

то группа называется коммутативной.

Определение 3.10 Мощность множества , на котором задана групповая операция, называется порядком группы .

Если множество конечно, то группа называется конечной.

Определение 3.11 Подмножество множества , являющееся одновременно группой относительно той же самой операции, называется подгруппой группы .

Определение 3.11 Подгруппа группы называется тривиальной, если либо , либо состоит из одного нейтрального элемента.

Справедлива

Теорема 3.1 (Теорема Лагранжа) Порядок конечной группы делится на порядок любой её подгруппы .

Определение 3.12 Число называется индексом подгруппы в группе и обозначается .

Определение 3.13 Полугруппы и называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение $\varphi :G\rightarrow H$ , сохраняющее операцию, то есть такое, что $\varphi \left(a\times b\right)=\varphi \left(a\right)\times \varphi \left(b\right)$ .

Определение 3.14 Подгруппа группы называется максимальной, если она не содержится в других собственных (не совпадающих с ) подгруппах группы .

Определение 3.15 Минимальная подгруппа группы , содержащая элементы ${a}_{1},{a}_{2},{\dots},{a}_{k}$ , называется подгруппой, порождённой этими элементами, и обозначается ${\langle}{a}_{1},{\dots},{a}_{k}{\rangle}$ .

Определение 3.16 Группа ${\langle}a{\rangle}$ , порождённая одним элементом, называется циклической, и состоит из элементов $e={a}^{0},{a},{a}^{2},{a}^{3},{\dots}$ .

Существуют две возможности: либо все степени элемента различны, тогда список элементов группы ${\langle}a{\rangle}$ будет продолжаться бесконечно, либо на каком-то шаге окажется: ${a}^{n}={a}^{0}$ .

Определение 3.17 Минимальное натуральне число такое, что , называется порядком элемента (пишут ). Если такого не существует, пишут $|a|=\infty$ .

Одновременно такое является порядком подгруппы ${\langle}a{\rangle}$ .

Справедливо

Следствие 3.1 (из теоремы Лагранжа) Порядок конечной группы делится на порядок любого её элемента.

Отметим несколько свойств циклической группы, которые пригодятся нам в дальнейшем:

Каждая подгруппа циклической группы циклическая.
Если порядок элемента равен , то порядок элемента ${a}^{m}$ равен .
Если $b \in {\langle}a{\rangle}$ имеет порядок , то лежит в подгруппе ${\langle}{a}^{n/{n'}}{\rangle}$ .
Если делит , то $\left\langle {a}^{k}\right\rangle \subseteq {\langle}{a}^{m}{\rangle}$ .
Максимальными в циклической группе ${\langle}a{\rangle}$ порядка являются подгруппы ${\langle}{a}^{p}{\rangle}$ для простых чисел , делящих , и только они.
Если в группе ${\langle}a{\rangle}$ найдётся элемент порядка , то группа ${\langle}a{\rangle}$ порождается и элементом , то есть $\left\langle a\right\rangle =\left\langle b\right\rangle$ .
Число элементов, порождающих $\left\langle a\right\rangle$ , равно $\varphi (\left|a\right|)$ .
Циклические группы одного порядка изоморфны.

Пример 3.3 Множество $\mathbb{Z}_{11}^{*}$ чисел от до c умножением по модулю образует группу. Отметим, что в этой группе нейтральным элементом является , элемент имеет порядок , поскольку $10 \cdot 10=100 \equiv 1\mod11$ , элементы имеют порядок , а остальные элементы имеют порядок, не делящий ни , ни , но делящий . То есть элементы имеют порядок , то есть $\mathbb{Z}_{11}^{*}=\left\langle 2\right\rangle =\left\langle 6\right\rangle =\left\langle 7\right\rangle ={\langle}8{\rangle}$ .

Пример 3.4 Пусть элемент группы имеет порядок . Найти число ${N}_{20}$ элементов порядка в группе ${\langle}a{\rangle}$ ? Сколько элементов являются порождающими в ${\langle}a{\rangle}$ ?

Решение. По свойству 2, элементы порядка 20 лежат в подгруппе $\left\langle {a}^{3}\right\rangle$ и, по свойствам 3,5, не лежат в её максимальных подгруппах: ${\langle}{a}^{6}{\rangle}$ и ${\langle}{a}^{15}{\rangle}$ . Отсюда,

${N}_{20}=\left|\left\langle {a}^{3}\right\rangle \right|-\left|\left\langle {a}^{6}\right\rangle {\cup}\left\langle {a}^{15}\right\rangle \right|.$

Порядок элементов из $\left\langle {a}^{6}\right\rangle {\cap}{\langle}{a}^{15}{\rangle}$ делит и 10 и 4, следовательно, равен 1 или 2, т.е. $\left\langle {a}^{6}\right\rangle {\cap}\left\langle {a}^{15}\right\rangle =\left\langle {a}^{30}\right\rangle$ , $\left|\left\langle {a}^{30}\right\rangle \right|=2.$ Отсюда,