Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 23.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3275 / 437 | Оценка: 4.18 / 3.71 | Длительность: 17:54:00
ISBN: 978-5-9556-0098-7
Специальности: Программист
Лекция 7:

Дискретизация. Антиалиасинг. Геометрические преобразования растровых изображений

Теорема Найквиста-Котельникова

Теорема Найквиста-Котельникова дает ответ на вопрос, какой частоты дискретизации fs достаточно для того, чтобы не произошло потери информации, т.е. чтобы по дискретизованному сигналу можно было восстановить исходный. Применительно к изображениям это грубо (поскольку еще не ясно, как происходит восстановление, которое зависит от устройства отображения) можно понимать так: "Какая разрешающая способность должна быть у растра, чтобы он сохранил все детали исходного аналогового изображения". Хотя потеря информации даже в случае соблюдения условий теоремы Котельникова произойдет из-за того, что значения дискретизованной функции (растрового изображения) в компьютере сами хранятся с ограниченной точностью. Передача цветов и оттенков лучшим образом при ограниченном диапазоне значений является задачей квантования, которая рассмотрена в "Алгоритмы квантования для полутоновых и цветных изображений" .

Срез изображения как сигнал и его частотный спектр.

Рис. 7.2. Срез изображения как сигнал и его частотный спектр.
Гребенчатый фильтр и его преобразование Фурье.

Рис. 7.3. Гребенчатый фильтр и его преобразование Фурье.

В доказательстве теоремы и далее будет использоваться операция свертки функций I(x), J(x), определяемая так:

(I * J)(x) \stackrel{def}{ = }\int_{-\infty}^{\infty} I(u) \cdot J(x - u)du.

Теорема 7.1.1 (Найквиста-Котельникова). Для того чтобы сигнал I(x) можно было восстановить по его дискретному образу, его спектр должен быть ограничен максимальной частотой fH и частота дискретизации fs должна быть более 2fH.

Доказательство использует факты из математического и функционального анализа (см. например [3]). Пусть Is(x) - дискретный образ исходного сигнала I(x), как обычно, T = 1/fs - период дискретизации, тогда

I_s(x) = I(x)\cdot Comb(x) = I(x) \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\sigma (x-nT) = \\
\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}I(nT)\cdot \sigma (x-nT).

Образом функции Comb в частотной области является функция

FComb(f) = f_s \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\sigma (f - kf_s),

а Фурье-образ I(x) по-прежнему будем обозначать F(f). Умножение функций в пространственной области соответствует их свертке (будем обозначать ее * ) в частотной и наоборот. Соответственно, рассмотрим свертку F и FComb, являющуюся Фурье-образом Is(x) (обозначим его Fs(f) ):

F_s(f) = F * FComb(f) = F(f) * f_s \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\sigma (f - kf_s) \stackrel{(1)}{ = } \\ f_s \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}F(f-kf_s), ( 7.6)

где переход (1) произошел благодаря сдвигающему свойству дельта-функции при свертке. Как видно из последнего выражения, Fs(f) представляет собой бесконечную сумму функций F(f), умноженных на fs и сдвинутых на fs относительно друг друга, поэтому при условии fs > 2fH носители соседних сдвинутых версий не пересекаются, и отдельно, взяв центральную копию F(f) (k = 0) и применив к ней обратное преобразование Фурье, можно получить исходный сигнал I(x). Центральная копия берется путем умножения Fs(f) на прямоугольную функцию T \cdot Rect(T \cdot f), где

Rect(f) =\left\{ \begin{array}{cc} 
1, & |f| \le 1  \\ 
0, & |f| > 1  \\ 
\end{array} \right.

Т.е. F(f) = F_s(f) \cdot T \cdot Rect(T \cdot f), - образ исходной функции получен. Заметим, этому умножению в частотной области соответствует свертка в пространственной области. Применив обратное преобразование Фурье к T \cdot Rect(T \cdot f), получим функцию

sinc(\pi x/T)\stackrel{def}{ = }\frac{\sin \pi x/T}{\pi x/T}. ( 7.7)

Применив свертку с Is(x), получаем

I(x) = I_s(x) * sinc(\pi x/T)   \\ 
= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\left( I(nT) \cdot \sigma (x - nT)\right) * sinc((x - nT)/T)   \\ 
\stackrel{(2)}{ = }\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}I(nT) \cdot sinc((x - nT)/T),

где переход (2) также произошел благодаря сдвигающему свойству дельта-функции при свертке. Последняя формула называется Интерполяционной формулой Найквиста-Шеннона.

Для завершения доказательства осталось показать, что невозможно однозначно восстановить сигнал при f_s \le 2f_H.

Приведем соответствующий пример. Зафиксируем две частоты - fs и fH, f_s \le 2f_H ; для упрощения рассуждений предположим, что fs > fH (в общем случае может быть более двух наложений сдвинутых образов, что усложнит построение контрпримера). Из формулы (7.6) следует, что Фурье-образ Is(x) является периодической функцией с периодом fs, поэтому вся информация для восстановления содержится в одном периоде (например f \in [-\frac{f_s}{2}, \frac{f_s}{2}] ). Рассмотрим две функции, Фурье-образы которых равны

F_1(f) =\left\{ \begin{array}{ccc} 
f_H - |f|, & |f| \in [0, f_s - f_H)  \\ 
\frac{2f_H-f_s}{2}, & |f| \in [f_s - f_H, f_H]  \\ 
0, & |f| > f_H  \\ 
\end{array} \right.
F_2(f) = \left\{ \begin{array}{cc} 
f_H - |f|, & |f| \in [0, f_H]  \\ 
0, & |f| > f_H  \\ 
\end{array} \right.

(функция однозначно задается своим Фурье-образом). При дискретизации с частотой fs в соответствии с формулой (7.6) Фурье-образ в интервале [-\frac{f_s}{2}, \frac{f_s}{2}] для обеих функций будет равен

F_s(f) =  \left\{ \begin{array}{cc} 
f_s(f_H - |f|), & |f| \in [0, f_s - f_H)  \\ 
f_s(2f_H - f_s), & |f| \in [f_s - f_H, f_s/2]  \\ 
\end{array} \right.
(см. рис. 7.4).

Таким образом, в этом случае однозначная реконструкция невозможна.

Пример двух функций, дискретизированный образ которых совпадает

увеличить изображение
Рис. 7.4. Пример двух функций, дискретизированный образ которых совпадает
Адекватная и неадекватная частоты дискретизации

Рис. 7.5. Адекватная и неадекватная частоты дискретизации