Выполнимость булевых функций и бинарные диаграммы в построении тестов

21.1 Выполнимость булевых функций

Рассмотренные ранее методы построения проверяющих тестов для заданной неисправности комбинационной схемы можно разбить на два класса:

1. структурные методы, осуществляющие поиск решения непосредственно по логической схеме на основе активизации путей;
2. аналитические методы, где построение теста выполняется путем манипуляций с формулами (метод различающей функции и булевых производных).

Относительно недавно разработан метод построения тестов на основе решения задачи выполнимости булевых функций [21.1], который занимает промежуточное положение между этими двумя подходами. Здесь строится различающая функция между булевыми функциями, реализующими исправную и неисправную схемы, которая далее преобразуется в конъюнктивную нормальную форму (КНФ) и решается задачи выполнимости КНФ.

Рассмотрим задачу построения КНФ по заданной логической схеме [21.1,21.2]. Для начала возьмем уравнение . В логических терминах это уравнение эквивалентно следующему: . Но в выражение эквивалентно , поэтому можно представить в виде . Заметим, чтобы это выражение приняло значение "истина", необходимо чтобы оба значения и были истинны, либо наоборот оба значения были ложными.

Далее рассмотрим уравнение для вентиля И, которое можно преобразовать к виду [21.1,21.2]. Действуя по приведенной выше схеме, на следующем шаге получаем

В полученной КНФ отдельные дизъюнкты (сомножители) могут иметь один, два или три терма ("слагаемых"). Известно[21.1,21.2], что подобные преобразования можно выполнить для типовых логических вентилей - окончательные результаты представлены в табл. 21.1

Далее перейдем от преобразования отдельных логических элементов к схеме в целом на примере схемы рис. 21.1[21.2]. Здесь исходная (исправная) схема выделена пунктиром.

Рис. 21.1. Пример схемы для проверки выполнимости булевых функций.

Поведение этой (исправной) схемы может быть описано с помощью следующей КНФ

которая построена с помощью приведенных выше преобразований. Отметим, что здесь наряду с входными переменными содержатся и "внутренние" переменные , которые ассоциированы с внутренними линиями схемы.

Далее перейдем, к задаче построения проверяющего теста на примере константной неисправности . Согласно методу различающей функции мы должны решить булево уравнение , где описывает поведение неисправной схемы. На рис. 21.1 представлена схема, которая реализует эту различающую функцию. Заметим, что здесь исправная и неисправная схемы содержат общую подсхему. Далее по изложенной выше методике с использованием преобразований табл. 21.1 построим КНФ для схемы рис. 21.1

В полученной формуле первые две строки соответствуют исправной схеме, которая на рис. 21.1 выделена пунктиром. Третья строка соответствует неисправной схеме. Отметим, что здесь включено дополнительное требование на активизацию неисправности в виде терма , который принимает значение "истина" при . Наконец, четвертая строка представляет элемент исключающее ИЛИ (сумма по mod2). Конечно, для маленькой схемы рис. 21.1 это выражение достаточно громоздко, но методы решения выполнимости булевых функций и высокая производительность компьютерных систем позволяют решать задачу генерации тестов для реальных больших схем. Решением, то есть проверяющим тестовым набором является множество значений входных переменных, обращающих КНФ в 1.

Эффективность решения выполнимости булевых функций зависит от числа термов в дизъюнктах. Известно, что в общем случае (произвольного числа термов в дизъюнктах) эта задача является NP-полной (относительно числа переменных) то есть имеет экспоненциальную сложность. Решение полиномиальной сложности имеет случай 1- и 2-выполнимости, когда число термов в любом дизъюнкте не превышает 1 или 2. Для 2-выполнимости известен эффективный алгоритм на основе метода резолюций [21.3]. Для 3-выполнимости задача уже является NP-полной. Задача с произвольным числом термов может быть сведена к 3-выполнимости[21.3]. Заметим, что для нашого примера схема содержит логические элементы, имеющие два входа. Потому, согласно табл..21.1, построенная КНФ в этом случае имеет 66,6% дизъюнктов с двумя термами. На практике 80% или даже 90% дизъюнктов имеют два терма. Поэтому часто при построении тестов используется следующий подход к решению задачи выполнимости:

• находятся значения переменных, входящие в дизъюнкты с двумя термами;
• дизъюнкты с тремя термами используются в качестве ограничений.

Подобный подход используется в [21.1,21.2] на основе линейного алгоритма для 2- выполнимости [21.4] следующим образом. Определяется массив для 2-КНФ переменных, входящих в дизъюнкты с 2 термами. Массив определяет порядок обработки этих переменных. Используется указатель , который указывает на первую неограниченную переменную и инициализируется в 0. Переменная используется для хранения текущего направления обработки (прямой или обратный порядок). В течение обработки и последовательность ограниченных значений представляет текущий префикс . Все элементы массива , которые больше или равны 0 и меньше являются ограниченными. Целью является множество двоичных значений переменных , которые совместимы с дизъюнктами, содержащими 3 терма. При этом в случае несовместимости это желательно обнаружить как можно раньше. Укрупненный псевдокод алгоритма решения выполнимости КНФ представлен ниже на рис. 21.2.

SAT()
{
  dir=0; // устанавливается прямой порядок
   V=NULL; //  все переменные неограниченны
    i=0; // значение указателя на первую неограниченную переменную
  for(;;)  {
       if(dir=прямой порядок) {
           for(;i<размер V;i=i+1)
                 if(V[i] ограничена)
                     break; 
            if(i==размер V)
                return(успех);
            V[i-1]=0;
        Выполнение импликации V[i-1];
         i =i+1;
}       
else { // dir=обратный порядок   
      if(i==0)
         return(неудача);
         temp=V[i]; // сохранение последнего значения
         отменить импликацию V[i-1];
}         
         else
              i=i-1;
}     
     if(нет  нулевого дизъюнкта)
           dir= прямой порядок;
     else
            dir= обратный порядок;
}       
}   

Поиск решения прекращается если:

1. Найдены значения, при которых булева функция выполнима;
2. Доказано, что таких значений не существует;
3. Превышены ограничения по выделенным вычислительным ресурсам.

Представленный алгоритм является полным - то есть он гарантирует построение тестового набора для не избыточной неисправности в комбинационной схеме или показывает ее избыточность. Однако для ускорения поиска можно ввести в КНФ некоторые дополнительные дизъюнкты, которые позволяют сузить пространство поиска решений. Подобно структурным методам эти дизъюнкты могут отражать топологию схемы и некоторые эвристики [21.1].