Российский государственный гуманитарный университет
Опубликован: 13.07.2022 | Доступ: свободный | Студентов: 244 / 8 | Длительность: 11:54:00
Специальности: Программист
Лекция 1:

Представление чисел в системах счисления

Лекция 1: 1234 || Лекция 2 >

Пусть теперь в системе счисления с основанием p для целого неотрицательного числа x выполняется разложение

x = c_0p^m + c_1p^{m - 1} + \dots + c_m,

где m = k(n + 1) - 1, k > 1, n \ge 0; 0 \le c_j < p, для j = 0, 1, ..., m. Число слагаемых в правой части равенства кратно k. Разобьем их последовательно на группы, содержащие по k элементов (очевидно, что таких групп будет n + 1), в результате будем иметь:

x=c_0p^m + c_1p^{m - 1} + \dots + c_{k - 1}p^{m - k + 1} + c_kp^{m - k} + c_{k + 1}p^{m - k + 1} + \dots + c_{2k - 1}p^{m - 1} +\dots\\
 + c_{m - k + 1}p^{k - 1} + c_{m - k + 2}p^{k - 2} + \dots + c_m = (c_0p^{k - 1} + c_1p^{k - 2} + \dots + c_{k - 1})p^{m - k + 1} +\\
 + (c_kp^{k - 1} + c_{k + 1}p^{k - 2} + \dots + c_{2k - 1})p^{m - k} +\dots + c_{m - k + 1}p^{k - 1} + c_{m - k + 2}p^{k - 2} + \dots + c_m.

Положим

d_0 = c_0p^{k - 1} + c_1p^{k - 2} + \dots + c_{k - 1},\\
d_1 = c_kp^{k - 1} + c_{k + 1}p^{k - 2} + \dots + c_{2k - 1},\\
\dots
d_n = c_{m - k + 1}p^{k - 1} + c_{m - k + 2}p^{k - 2} + \dots + c_m.

Ясно, что 0 \leqslant d_j < p^k, для j = 0, 1, ..., n. Кроме того, m = kn + k - 1. Поэтому представление числа x в системе счисления с основанием p^k имеет вид: x = d_0p^{kn} + d_1(p^k)^{n - 1} + \dots + d_n

Таким образом, при преобразовании представления числа из системы счисления с основанием p в систему счисления с основанием p^k, достаточно сгруппировать буквы исходного слова в слова длины k, при необходимости добавив нули в начале слова, а затем заменить эти слова

Пример 18. Для числа 73 по таблицам имеем:

 73 = 1001001_2 = 01 00 10 01 = 1021_4 = 001 001 001 = 111_8 = 0100 1001 = 49_{16}.

Преобразование дробной части числа, если она имеет конечное число знаков после запятой, выполняется аналогичным образом, так как

0,b_{n + 1}b_{n + 2} \dots b_{n + k p}= p^{ - k} * b_{n + 1}b_{n + 2} \dots b_{n + k p} =p{ - k - 1} * b_{n + 1}b_{n + 2} \dots b_{n + k}0_p = \dots

Очевидно, что для дробной части при преобразовании представления числа из системы счисления с основанием p в систему счисления с основанием p^k необходимое число нулей добавляется справа.

Пример 19. С помощью таблиц найдем двоичное представление чисел 0,032_4, 0,704_8 и 0,9e0a_{16}. Имеем:

0,032_4 = 0,00 11 10 = 0,00111_2;\\
0,702_8 = 0,111 000 010 = 0,11100001_2;\\
0,9e0a_{16} = 0,1001 1110 0000 1010 = 0,100111100000101_2.

Пример 20. Найдем представление чисел 0,011_2 и 10101,10011_2 в системах счисления с основаниями 4, 8 и 16 с помощью таблиц:

  1. 0,011_2 = 0,0110_2 = 0,12_4 = 0,3_8 = 0,6_{16};
  2. 10101,10011_2 = 01 01 01,10 01 10 = 111,212_4 = 010 101,100 110 = 25,46_8= 0001 0101,1001 1000 = 15,98_{16}.

Ниже приведена общая таблица для преобразования чисел между системами счисления с основаниями 3 и 9, а также 4 и 16 ( Таблица ).

 Соответствие между системами счисления с основаниями 3 и 9, 4 и 16

Рис. 1.2. Соответствие между системами счисления с основаниями 3 и 9, 4 и 16

Пример 21. 1) Найдем для чисел 2805_09 и 1f58_{16} их троичное и четверичное представления, соответственно. По таблице h имеем:

2805_9 = 02 22 00 12 = 2220012_3;\\
1f58_{16} = 01 33 11 20 = 1331120_4.

2) Представление чисел 2120121_3 и 10032_4 в системах счисления с основаниями 9 и 16, соответственно, по рис 1.2 находится следующим образом:

2120121_3 = 02 12 01 21 = 2517_9;\\
10032_4 = 01 00 32 = 10e_{16}.

В системах счисления с основаниями от 11 до 36 включительно цифрами являются десятичные цифры и буквы латинского алфавита. Эти цифры приведены в табл.. Ячейка с индексами i и j содержит цифру, значение которой в десятичной системе равно 10i + j.

Обозначения цифр в системах счисления...

Рис. 1.3. Обозначения цифр в системах счисления...

Пример 22. 1) Найдем шестеричное представление числа 9o4zaaaaaaa_{36}. Имеем: 9_{36} = 9_{10} = 13_6, o_{36} = 24_{10} = 40_6, z_{36} = 35_{10} = 55_6. Поэтому

9o4z_{36} = 13 40 04 55 = 13400455_6.

2) Найдем представление числа 142124403_5 в системе счисления с основанием 25. Имеем: 42_5 = 22_{10}; 12_5 = 7_{10}; 44_5 = 24_{10}.

Следовательно,

142124403_5 = 01 42 12 44 03 = 1m7o3_{25}.

В системах счисления с основанием 37 и более в качестве цифр часто используются десятичные числа. В этом случае цифры состоят из нескольких знаков. Мы в записи чисел будем просто разделять такие цифры пробелами (как в системе Wolfram|Alpha - см. гл. 7).

Пример 23. Вычислим 60-ричное представление числа 43000. Имеем:

43000 = 716 * 60 + 40;
716 = 11 * 60 + 56.

Таким образом, 43000 = 11 56 40_{60}. Отсюда, в частности, следует, что 43000 секунд составляет 11 часов, 56 минут и 40 секунд.

В вавилонской системе счисления c основанием 60 для записи цифр, от 1 до 59, использовались два знака: стоячий клин для обозначения 1 и лежачий для обозначения 10 ( рис. 1.1 (a)). Разряды отделялись пробелами, иногда для разделения цифр использовались специальные символы, по причине отсутствия нуля. В ней число 43000 могло быть записано так, как показано на рис. 1.4 (b).

Рис. 1.4. (a) Клинописное обозначение чисел 1 (слева) и 10 (справа); (b) представление числа 43000

Рис. 1.4. Рис. 1.4. (a) Клинописное обозначение чисел 1 (слева) и 10 (справа); (b) представление числа 43000

Пример 24. Найдем семеричное представление числа 3 42,0 24_{49}. Имеем: 3_{49} = 03_7, 42_{49} = 60_{7}, 24_{49} = 33_7. Поэтому

3 42,0 24_{49} = 03 60,00 33 = 360,0033_7.

Пример 25. Найдем представление числа 2310,1022_4 в системе счисления с основанием 64:

2310,1022_4 = 002 310,102 200 = 2 52,18 32_{64},

так как 310_4 = 3 * 16 + 1 * 4 + 0 = 52, 102_4 = 16 + 2 = 18, 200_4 = 2 * 16 = 32.

Упражнения

  1. Запишите число 100 в системе счисления с основанием

    a) 2;

    b) 3;

    c) 12;

    d) 20;

    e) 60.

  2. Найдите двоичное представление числа

    a) 1,1;

    b) 7,7;

    c) 14,14;

    d) 33,3.

  3. Представьте число 22,2 в системе счисления с основанием

    a) 4;

    b) 8;

    c) 12;

    d) 16.

  4. Найдите двоичное представление числа \pi, ограничившись в его двоичном виде тремя знаками после запятой.
  5. Определите, в какой системе счисления верно равенство 33_p + 44_p = 110_p.
  6. Покажите, что в системе счисления с основанием p, где p>3, число 1331_p является кубом числа 11_p.
  7. Найдите десятичное представление числа

    a) a1,1a_{16};

    b) 107,07_8;

    c) 124,104_5;

    d) 313,03_4.

  8. Не используя (4), представьте в виде рациональной дроби число

    a) 0,22(321);

    b) 0,22(321)_4

  9. Покажите, что если p > 3, то 0,22(321)_p=\frac{p^2(2p(p+1)+3)-1}{p^2(p^3-1)}.
  10. Представьте в виде рациональной дроби число

    a) 0,(023);

    b) 0,0(7);

    c) 0,(14)_5;

    d) 0,0110(110101)_2.

  11. Определите число, предшествующее числу 2020_{16}.
  12. Найдите число, следующее за числом fa9f_{16}.
  13. Постройте 1) таблицу сложения; 2) таблицу умножения в системе счисления с основанием

    a) 2;

    b) 3;

    c) 4;

    d) 8;

    e) 16.

  14. Выполните операции сложения, вычитания, умножения и деления в системе счисления с основанием p для чисел

    a) 10001_2 и 110_2, p = 2;

    b) 1a0f_{16} и 2c_{16}, p = 16.

  15. Выполните действия в троичной системе счисления:

    a) 201_3 + 12002_3;

    b) 2020_3 - 122_3;

    c)112\frac23;

    d) 2012_3   21_3.

  16. Выполните действия в системе счисления с указанным основанием:

    a) 6_{12} + 29_{12};

    b) 99_{20} - 33_{20};

    c) 5_{12} * 12_{12};

    d) 20_{20} * 15_{20}.

  17. Найдите представление числа x в системе счисления с основанием p, если

    a) x = 4,5_7, p = 3;

    b) x = 432,12_5, p = 7.

  18. Используя таблицу тетрад, постройте таблицу для преобразования чисел между системами счисления 2 и 32.
  19. Найдите представление числа 10010010110,0100010_2 в системе счисления с основанием

    a) 4;

    b) 8;

    c) 16;

    d) 32.

  20. Найдите представление в двоичной системе счисления числа

    a) 201,2301_4;

    b) 603,72_8;

    c) f0cd,a09_{16}.

  21. Найдите представление в двоичной системе счисления числа

    a) 3o7,b_{32};

    b) 2 11,5_{100}.

  22. Постройте общую таблицу

    a) для преобразования чисел между системами счисления с основаниями 5 и 25, а также 6 и 36;

    a) для преобразования чисел между системами счисления с основаниями от 2 до 6 включительно и системами счисления с основаниями, равными квадратам этих чисел, т. е. с основаниями 4, 9, 16, 25 и 36, соответственно;

  23. Найдите представление числа x в системе счисления с основанием p, если

    a) x = 22011,01102_3, p = 9;

    b) x = 678,345_9, p = 3;

    c) x = 221,01331_4, p = 16;

    d) x = 7ea8,3d_{16}, p = 4;

    e) x = 40332,204_5, p = 25;

    f) x = 2efd,o8m_{25}, p = 5;

    g) x = 5544332,211_6, p = 36;

    h) x = zzx7,5ni7_{36}, p = 6.

  24. Постройте таблицу для преобразования чисел между системами счисления

    a) 4 и 64;

    b) 8 и 64;

    c) 7 и 49.

  25. Найдите представление числа x в системе счисления с основанием p, если

    a) x = 794,802, p = 100;

    b) x = 86 5,0 29_{100}, p = 10;

    c) x = 333,201_4, p = 64;

    d) x = 22 35,12 5_{64}, p = 4;

    e) x = 543,345_8, p = 64;

    f) x = 2 38,11 25_{64}, p = 8;

    g) x = 2387,145_7, p = 49;

    h) x = 2 48,8 23_{49}, p = 7;

    i) x = 11001111,011_2, p = 64;

    j) x =14 3,34 5_{64}, p = 2;

    k) x = 64000,5, p = 60;

    l) x = 22 35,12 5_{60}, p = 10.

Лекция 1: 1234 || Лекция 2 >