Российский государственный гуманитарный университет
Опубликован: 13.07.2022 | Доступ: свободный | Студентов: 263 / 9 | Длительность: 11:54:00
Специальности: Программист
Лекция 2:

Кодирование чисел и текста

< Лекция 1 || Лекция 2: 123456 || Лекция 3 >

Современные компьютеры могут обрабатывать только дискретную информацию, поэтому любой вид информации преобразуется в числовую форму, которая затем кодируется в двоичном виде.

Кодированием данных называется представление данных с помощью условных знаков. Система двоичного кодирования заключается в представлении данных произвольного типа двоичным кодом, в виде последовательности нулей и единиц.

В настоящей главе рассматриваются методы двоичного кодирования целых и действительных чисел, а также текстовой информации.

В сокращенном виде двоичный код представляется в шестнадцатеричном формате, для этого используются таблицы тетрад. Шестнадцатеричный формат обозначается hex, от hexadecimal, десятичный - dec или decimal.

Кодирование целых чисел

Рассмотрим способы кодирования целых чисел. Для кодирования используется не менее 1 байта, или 8 двоичных разрядов. Типы данных, в которых хранятся целые числа, обычно состоят из 1, 2, 4 или 8 байт.

Кодирование целых неотрицательных чисел

Рассмотрим типы данных, в которых хранятся целые неотрицательные, или беззнаковые, числа. С помощью k двоичных разрядов может быть представлено 2^k различных значений, с кодами от 00\dots0 до 11\dots1, поэтому в них хранятся целые числа в пределах от 0 до 2^k - 1. Диапазоны целых беззнаковых чисел для таких типов данных, а также максимальные числа, которые в них представлены, показаны в табл. 2.1.

Таблица 2.1. Диапазоны и максимальные числа для целых беззнаковых чисел
Число байт Диапазон Максимальное число
1 от 0 до 2^8-1 255
2 от 0 до 2^{16}-1 65535
4 от 0 до 2^{32}-1 4294967295
8 от 0 до 2^{64}-1 18446744073709551615

Пример 1. В четырех байтах число 33 кодируется в виде: 00000000000000000000000000100001_2, или 00000021 (hex).

Кодирование целых чисел со знаком

Рассмотрим типы данных, которые используются для хранения положительных и отрицательных целых чисел, или целых чисел со знаком. Диапазоны чисел для этих типов данных, которые можно закодировать с помощью 1, 2, 4 или 8 байт, а также минимальные и максимальные числа показаны в таблице 2.2. В первом столбце указывается число байт.

Таблица 2.2. Диапазоны, минимальные и максимальные числа
Диапазон Минимальное число Максимальное число
1 от -2^7 до 2^7-1 - 128 127
2 от -2^{15} до 2^{15}-1 - 32768 32767
4 от -2^{31} до 2^{31}-1 - 2147483648 2147483647
8 от -2^{63} до 2^{63}-1 - 9223372036854775808

Если количество разрядов в типе данных равно k, то диапазон кодируемых чисел составляет от - 2^{k - 1} до 2^{k - 1} - 1. Неотрицательные числа кодируются так же, как и в случае беззнаковых чисел, коды этих чисел начинаются с 0 (см. диапазон). Соответственно, коды отрицательных чисел начинаются с 1. Множество отрицательных чисел так же, как и множество положительных, представляется множеством двоичных кодов, упорядоченных по возрастанию.

Рассмотрим, например, тип данных, в котором для кодирования целых чисел со знаком используется 2 разряда. В нем могут быть закодированы числа - 2, - 1, 0, 1 с помощью кодов 10, 11, 00, 01, соответственно. Если тип данных содержит 3 разряда, то в нем могут быть представлены числа - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 соответственно с помощью кодов 100, 101, 110, 111, 000, 001, 010, 011.

В общем случае левая граница диапазона кодируется двоичным словом 100\dots0, а правая - двоичным словом 011\dots1.

Итак, если двоичный код числа начинается с 1, то он представляет отрицательное целое число, а если с 0, - то неотрицательное. Старший разряд двоичного кода называется знаковым разрядом. Код, который используется для кодирования неотрицательных целых чисел, называется прямым, а для кодирования отрицательных - дополнительным. Дополнительные коды позволяют заменить операцию вычитания операцией сложения и сделать возможной реализацию операций сложения и вычитания одинаковыми для знаковых и беззнаковых чисел (см. ниже).

Рассмотрим понятия прямого и дополнительного кода в общем случае для системы счисления с основанием p, где p - целое, p> 1.

Пусть для p-ичного кодирования , т. е. для представления целого числа в системе счисления с основанием p, используется k разрядов, и диапазон кодируемых чисел составляет от - p^{k - 1} до p^{k - 1} - 1.

Для целого числа x, такого что 0 \le x < p^k , выполняется разложение

x = b_0p^{k - 1} + b_1p^{k - 2} + \dots + b_{k - 1},

где 0 \le b_i < p, для i = 0, 1, \dots, k - 1.

Прямым кодом числа x называется его представление в p-ичном виде с помощью слова длины k:

b_0b_1 \dots b_{k - 1 p}.

Обратным кодом числа (-x) называется код

(p - 1 - b_0)(p - 1 - b_1) \dots (p - 1 - b_{k - 1})_p

Обозначим через x_{inv} число, которое представляет этот код. Имеем:

x_{inv} = (p - 1 - b_0)p^{k - 1} + (p - 1 - b_1)p^{k - 2} + \dots + (p - 1 - b_{k - 1}) =\\
= (p - 1)(p^{k - 1} + p^{k - 2} + \dots + 1) - (b_0p^{k - 1} + b_1p^{k - 2} + \dots + b_{k - 1}) =\\
= (p-1)\frac{p^k-1}{p-1}-x= p^k - 1 - x.

Дополнительным кодом отрицательного числа (- x) называется p-ичное представление положительного числа

x_{add} = x_{inv} + 1 = p^k - x,

или p-ичное представление суммы

(p - 1 - b_0)(p - 1 - b_1) \dots (p - 1 - b_{k - 1})_p + 1_p.

Отсюда, в частности, следует, что x + x_{add }= p^k и - x = - p^k + x_{add}.

Например, найдем дополнительный код числа  (- p^{k - 1}) - левой границы диапазона. Прямой код числа p^{k - 1} равен 10\dots0_p. Поэтому обратный код числа - p^{k - 1} имеет вид:  (p - 2)(p - 1)\dots (p - 1)_p. Соответственно, дополнительный код выглядит следующим образом:

 (p - 2)(p - 1)\dots (p - 1)_p + 1_p = (p - 1)0\dots0_p.

Аналогично, найдем дополнительный код числа (- 1). Число 1 имеет прямой код 00\dots1, следовательно, обратный код для (- 1) имеет вид:  (p - 1)(p - 1) \dots (p - 2)_p. Поэтому дополнительным кодом числа (- 1) является  (p - 1)(p - 1) \dots (p - 1)_p. Найдем также дополнительный код числа 0. Это число имеет прямой код 0\dots0_p и, соответственно, обратный код  (p - 1) \dots (p - 1)_p. Следовательно, дополнительный код равен 10\dots0, так что 0_{add} = 0. Отметим, что в k-разрядной целочисленной арифметике полагают p^k \equiv 0, т. е. все числа рассматриваются как остатки от деления на p^k.

Пример 2. Найдем дополнительный код числа (- 127) при двоичном кодировании в 1 байте. Имеем:

прямой код числа 127: 01111111;

обратный код: 10000000;

дополнительный код: 10000000 + 1 = 10000001;

Пример 3. Найдем дополнительный код числа (- 12) при двоичном кодировании в 4 байтах типа данных integer. Имеем:

прямой код числа 12: 00000000 00000000 00000000 00001100;

обратный код: 11111111 11111111 11111111 11110011;

дополнительный код: 11111111 11111111 11111111 11110100,

или fffffff4 (hex).

Пример 4. Пусть p = 10. Тогда с помощью 4 разрядов можно закодировать целые числа в пределах от - 10^3 до 10^3 - 1, т. е. от - 1000 до 999. Найдем дополнительный код при десятичном кодировании числа (- 812). Имеем:

прямой код для 812: 0812;

обратный код: 9187;

дополнительный код: 9188 (= 10000 - 812).

Пример 5. Пусть p = 16. Тогда с помощью 3 разрядов можно закодировать числа в пределах от - 256 до 255. Найдем дополнительный код при 16-ричном кодировании числа (- 50). Имеем:

прямой код числа 50: 032;

обратный код: fcd;

дополнительный код: fce.

< Лекция 1 || Лекция 2: 123456 || Лекция 3 >