Опубликован: 24.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 706 / 30 | Оценка: 4.60 / 4.30 | Длительность: 25:56:00
Специальности: Программист
Лекция 4:

Контрпример

< Лекция 3 || Лекция 4: 12345 || Лекция 5 >

Лемма 1. Пусть (A,B) — непротиворечивая пара, а \tau — произвольная формула. Тогда хотя бы одна из пар (A\cup\{\tau\},B) и (A,B\cup\{\tau\}) непротиворечива.

Доказательство леммы 1. Пусть обе пары с добавленным \tau противоречивы. Надо доказать, что противоречива исходная пара. Другими словами, надо показать, что если в интуиционистском исчислении высказываний выводимы формулы

\begin{align*}
  (A \land \tau)&\to B,\\
   A            &\to(B \lor \tau),
        \end{align*}
то выводима и формула A\to B (для простоты мы отождествляем множества A и B с конъюнкцией и дизъюнкцией их элементов и считаем A и B формулами).

В самом деле, по лемме о дедукции достаточно доказать, что A
\vdash B. Для этого достаточно установить, что

A\vdash (B\lor \tau) \to B,
поскольку (B\lor\tau) в предположении A у нас уже есть. Для этого, в свою очередь, достаточно установить, что A\hm\vdash (B\to
B) и A\vdash (\tau\to B). Первое очевидно (и посылка A не нужна), второе равносильно выводимости формулы (A\hm\land\tau)\to
B, которая нам дана по условию леммы. Лемма 1 доказана.

Проведенное рассуждение, как говорят, устанавливает допустимость (в интуиционистской логике) правила сечения, позволяющего "иссечь" формулу \tau из формул (A\land\tau)\to B и A\to(B\lor\tau) и получить формулу A\to B.

Возвращаясь к доказательству теоремы, рассмотрим произвольную непротиворечивую пару (A,B). Рассматривая по очереди различные формулы \tau, мы будем добавлять их к левой или правой части. Чтобы этот процесс ("пополнение") был конечным, мы ограничимся формулами из некоторого множества.

Фиксируем некоторое конечное множество формул F, которое содержит все формулы из A,B и замкнуто относительно перехода к подформулам (если формула входит в F, то все ее подформулы входят в F ). Например, можно включить в F все подформулы всех формул из A и из B.

Пару (X,Y), у которой X,Y\hm\subset F, будем называть полной, если она непротиворечива и любая формула из F входит либо в X, либо в Y (то есть X\hm\cup
Y\hm=F ). Заметим, что из непротиворечивости следует, что X\hm\cap
Y\hm=\varnothing, так что полная пара задает разбиение F на две части. (Более точно полные пары следовало бы называть "полными относительно F ", но у нас множество F фиксировано.)

Лемма 2. Исходная пара (A,B) может быть расширена до полной: существует полная пара (X,Y), для которой A\hm\subset X, B\hm\subset Y.

Доказательство очевидно: применяем по очереди лемму 1 ко всем формулам из F.

Точно так же любую непротиворечивую пару, составленную из формул множества F, можно расширить до полной. (Это замечание нам впоследствии понадобится.)

Для завершения доказательства теоремы 26. нам осталось показать, что всякая полная пара (A,B) совместна (существует шкала и мир, в котором формулы из A истинны, а формулы из B ложны). В отличие от классического случая построение будет использовать не только пару (A,B), но и все полные пары.

Шкала Крипке строится так. Мирами будут полные пары (R,S) (то есть всевозможные непротиворечивые разбиения множества F на левую и правую части). Истинность переменных определяется естественным образом: всякая переменная p, входящая в одну из формул множества F, сама принадлежит множеству F (замкнутость относительно подформул); если p входит в левую часть полной пары (R,S), то p истинна в мире (R,S), если в правую — то ложна. (Впоследствии это свойство мы распространим на все формулы: любая формула из R окажется истинной в мире (R,S), а любая формула из S — ложной.)

Осталось определить порядок на множестве пар. Считаем, что (R_1,S_1)\hm\le(R_2,S_2), если R_1\hm\subset R_2. (Такое определение не удивительно, если вспомнить, что истинность формул наследуется вверх.)

Лемма 3. В построенной шкале в мире (R,S) истинны все формулы из R и ложны все формулы из S.

Доказательство леммы 3 проводится индукцией по построению формул. Для переменных она верна по определению истинности. Пусть некоторая формула из F не является переменной. Тогда она есть конъюнкция, дизъюнкция, импликация или отрицание и для ее частей утверждение леммы верно по предположению индукции. Рассмотрим все случаи по очереди, начав с конъюнкции и дизъюнкции (истинность которых не зависит от других миров).

( \land_R ) Пусть формула {\varphi\land\psi} входит в R. Тогда формулы \varphi и \psi не могут входить в S, иначе пара (R,S) была бы противоречивой (из {\varphi\land\psi} выводится \varphi и \psi ). Значит, \varphi и \psi входят в R (полнота), поэтому они истинны (предположение индукции), и потому {\varphi\land\psi} истинна (определение истинности).

( \land_S ) Пусть формула {\varphi\land\psi} входит в S. Могут ли обе формулы \varphi и \psi входить в R? Нет, так как в этом случае пара (R,S) была бы противоречивой. Значит, хотя бы одна из формул входит в S, тогда по предположению индукции она ложна, и потому формула {\varphi\land\psi} ложна в мире (R,S).

( \lor_R ) Если формула {\varphi\lor\psi} входит в R, то формулы \varphi и \psi не могут одновременно входить в S, и потому хотя бы одна из них истинна, так что и вся формула {\varphi\lor\psi} истинна.

( \lor_S ) Если формула {\varphi\lor\psi} входит в S, то формулы \varphi и \psi не могут входить в R, поэтому обе они ложны и формула {\varphi\lor\psi} ложна.

( \to_R ) Пусть формула {\varphi\to\psi} входит в R. Проверим, что она истинна в (R,S). Это значит, что в любом мире (R',S'), который выше нашего (то есть R'\supset R ) и в котором истинна формула \varphi, должна быть истинна и формула \psi. В самом деле, если \varphi истинна в (R',S'), то она входит в R' (предположение индукции). С другой стороны, и {\varphi\to\psi} входит в R', поскольку R'\supset R. Теперь ясно, что формула \psi не может входить в S', так как в этом случае пара (R',S') была бы противоречивой (из \varphi и \varphi\to\psi выводится \psi ). Значит, \psi входит в R' и потому истинна в (R',S') по предположению индукции.

( \to_S ) Это наиболее интересный случай, где нам снова потребуется пополнение. Пусть формула {\varphi\to\psi} входит в S. Мы должны доказать, что она ложна в мире (R,S). Согласно определению, это означает, что найдется мир (R',S'), для которого R'\supset R и в котором формула \varphi истинна, а формула \psi ложна (то есть \varphi\hm\in
R' и \psi\in S', согласно предположению индукции). Как найти такой мир? Рассмотрим пару ({R\cup\{\varphi\}},\{\psi\}). Эта пара непротиворечива. В самом деле, если бы формула {R\land\varphi}\hm\to\psi была бы выводима, то и формула R\to(\varphi\to\psi) была бы выводима (лемма о дедукции), и потому пара (R,S) была бы противоречива. Теперь можно расширить непротиворечивую пару ({R\cup\{\varphi\}},\{\psi\}) до полной пары (R',S'), которая и будет искомым миром.

Отрицание рассматривается аналогично импликации (как мы уже говорили, можно вместо отрицания ввести тождественную ложь \perp и вообще его не рассматривать).

( \lnot_R ) Пусть формула \lnot \varphi входит в R. Надо доказать, что формула \varphi ложна в любом мире (R',S') выше мира (R,S). Формула \varphi не может входить в R', так как в R' входит формула \lnot\varphi (напомним, что R\subset R' ), а из {\varphi\land\lnot\varphi} выводится любая формула. Значит, \varphi входит в S' и по индуктивному предположению формула \varphi ложна в (R',S').

( \lnot_S) Пусть формула \lnot\varphi входит в S. В этом случае пара ({R\cup \{\varphi\}},\varnothing) непротиворечива (если из R и \varphi выводится противоречие, то из R выводится \lnot\varphi ). Расширив ее до полной, получаем высший мир (R',S'), в котором формула \varphi истинна (по индуктивному предположению). Следовательно, формула \lnot\varphi ложна в мире (R,S).

Лемма 3 доказана. Она завершает доказательство теоремы 26. Напомним еще раз его схему. Пусть формула \varphi не выводима в интуиционистском исчислении высказываний. Тогда пара (\varnothing,\{\varphi\}) непротиворечива. Фиксируем множество F всех подформул формулы \varphi. Расширим нашу непротиворечивую пару до полной (относительно F ). Эта полная пара будет одним из миров шкалы Крипке (в которой мирами являются полные пары). Именно в этом мире и будет ложной формула \varphi.

36. Покажите, что если формулы P и Q ложны в некоторых мирах некоторых шкал Крипке, то можно построить шкалу Крипке и мир в ней, для которого формула {P\lor Q} будет ложной. (Указание: соединим шкалы, в которых ложны формулы P и Q, в одну, добавив новый мир, который меньше миров, где P и Q ложны.)

Из этой задачи и из теоремы о полноте вытекает такое следствие: если дизъюнкция двух формул выводима в интуиционистском исчислении высказываний, то хотя бы одна из формул тоже выводима. Это свойство выполнено для многих интуиционистских исчислений и соответствует начальной идее: доказать A\lor B означает доказать одну из формул A или B. Подобные свойства можно доказывать и синтаксически, используя генценовские варианты интуиционистских исчислений.

37. (а) Покажите, что формула \lnot\lnot(\varphi\lor\lnot\varphi) выводима в интуиционистском исчислении высказываний. (б) Покажите, что если формулы \lnot\lnot\varphi и \lnot\lnot(\varphi\hm\to\psi) выводимы в интуиционистском исчислении высказываний, то и формула \lnot\lnot\psi выводима в интуиционистском исчислении высказываний. (в) Докажите, что если формула \varphi выводима в классическом исчислении высказываний, то формула \lnot\lnot\varphi выводима в интуиционистском исчислении высказываний (теорема Гливенко) (г) Покажите, что для формул, содержащих лишь конъюнкцию и отрицание, разницы между классическим и интуиционистским исчислениями нет: из классической выводимости следует интуиционистская (теорема Геделя).

Покажите, что интуиционистское исчисление высказываний разрешимо: существует алгоритм, который по произвольной формуле определяет, выводима ли она в интуиционистском исчислении высказываний. (Указание: оцените мощность контрмодели Крипке; можно обойтись и без этого, заметив, что и множество выводимых формул, и множество формул, имеющих конечные контрмодели, перечислимы.)

< Лекция 3 || Лекция 4: 12345 || Лекция 5 >