Опубликован: 24.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 706 / 30 | Оценка: 4.60 / 4.30 | Длительность: 25:56:00
Специальности: Программист
Лекция 4:

Контрпример

< Лекция 3 || Лекция 4: 12345 || Лекция 5 >

Интуиционистская пропозициональная логика

Исключим из числа аксиом закон исключенного третьего {A\lor\lnot A}. Полученное исчисление называется интуиционистским исчислением высказываний. (Обычное исчисление высказываний называют классическим, чтобы избежать путаницы при его сравнении с интуиционистским. Вообще математические рассуждения, опирающиеся на аксиому исключенного третьего, называют "классическими", а избегающие ее — "интуиционистскими".)

Конечно, сразу же возникают естественные вопросы. Почему именно эта аксиома вызывает сомнения? Вообще-то аксиом много, и можно было бы исключить любую и смотреть, что получится без нее — но ясно, что скорее всего получится что-то странное. Как понять, какие формулы останутся теоремами без закона исключенного третьего? Раньше у исчисления высказываний была "сверхзадача" — вывести все тавтологии и только их, а теперь?

Интуиционистская логика возникла как попытка (сделанная Гейтингом) формализовать (пусть частично) методы рассуждений, практикуемые в "интуиционистской математике". Голландский математик Брауэр широко известен как автор классической (во всех смыслах) теоремы Брауэра о неподвижной точке (она утверждает, что любое непрерывное отображение многомерного шара D^n в себя имеет неподвижную точку). Но одновременно он создал целую школу в области оснований математики — математический интуиционизм. Отчего, спрашивал Брауэр, в теории множеств возникли парадоксы? Можно считать, что это оттого, что мы стали рассуждать о каких-то уж очень абстрактных объектах, которые существуют лишь в нашей (порой противоречивой) фантазии, так что следует проявлять осторожность и не подходить к опасной черте. Но Брауэр пошел дальше, говоря, что противоречия лишь симптом болезни, а надо устранить ее причину. Причину он видел в том, что математические рассуждения и понятия утратили интуитивный смысл, и нужно вернуться к основам и пересмотреть смысл самих логических связок.

Что мы имеем в виду (или должны иметь в виду), говоря о том, что мы установили, что " A или B "? Это значит, по Брауэру, что либо мы установили A, либо установили B. Когда мы устанавливаем, что " A и B ", это значит, что мы установили и A, и B. "Если A, то B " означает, что мы располагаем каким-то общим рассуждением, которое позволит нам установить B, как только кто-то установит нам A. Отрицание A означает, что мы располагаем рассуждением, которое приводит к противоречию предположение, что A установлено. (Как с точки зрения интуиционизма, так и с классической точки зрения, \lnot A во всех смыслах эквивалентно A\to\perp, где \perp — заведомо ложное утверждение. Можно было бы вообще не использовать отрицания, а иметь константу \perp — это не очень привычно, но технически удобно.)

Интуиционизм отвергает идею о том, что все высказывания делятся на истинные и ложные (пусть неизвестным нам образом). С этой точки зрения закон исключенного третьего совершенно безоснователен: A\lor \lnot A означает, что для произвольного утверждения A мы можем установить либо A, либо его отрицание (то есть объяснить, почему A в принципе не может быть установлено) — а почему, собственно?

Обычно, говоря об интуиционизме, приводят следующий пример рассуждения, неприемлемого с точки зрения интуиционизма. Докажем, что существуют иррациональные числа \alpha и \beta, для которых \alpha^\beta рационально. В самом деле, рассмотрим два случая. Если \sqrt{2}^{\sqrt{2}} рационально, то можно положить \alpha\hm=\beta\hm=\sqrt{2}. Если же \sqrt{2}^{\sqrt{2}} иррационально, то положим \alpha=\sqrt{2}^{\sqrt{2}} и \beta=\sqrt{2} ; легко проверить, что \alpha^{\beta}=2. Интуиционист скажет, что это рассуждение некорректно: доказать существование чего-то означает построить этот объект, а мы так и не построили чисел \alpha и \beta, поскольку не установили, какой из двух случаев имеет место. (Заметим в скобках, что специалисты по алгебраической теории чисел знают, что \sqrt{2}^{\sqrt{2}} иррационально и даже трансцендентно. Кроме того, не нужно быть специалистом, чтобы заметить, что можно положить \alpha=\sqrt{2} и \beta\hm=2\log_2 3.) Этот пример можно критиковать и с другой точки зрения, говоря, что само понятие действительного числа не является интуитивно ясным и требует обоснования.

Вообще интуиция — дело тонкое: если долго рассуждать, скажем, о действительных числах, то начинает казаться, что они в каком-то смысле существуют независимо от наших рассуждений. Именно поэтому психологически оправдан вопрос о том, скажем, как обстоят дела с континуум-гипотезой "на самом деле": существует ли несчетное множество действительных чисел, не равномощное всем действительным числам, или не существует?

Мы не будем говорить о философских предпосылках интуиционизма подробно. Вкратце упрощенная история вопроса такова. Брауэр наметил планы переустройства математики на интуиционистских принципах и отстаивал их настолько горячо, что однажды Гильберт в раздражении заметил: отменить закон исключенного третьего — это все равно что отнять у астрономов телескоп или запретить боксерам пользоваться кулаками. Но, продолжал он, никто не может изгнать математиков из рая, который создал Кантор.

В планы Брауэра не входила формализация интуиционистской логики и математики, скорее наоборот. Тем не менее анализ принципов интуиционизма пошел именно по этому пути, когда Гейтинг стал изучать пропозициональную логику без закона исключенного третьего. Различные спорные интуиционистские принципы стали предметом изучения с точки зрения формальной логики; были построены интуиционистские варианты формальной арифметики, теории множеств, логики предикатов, а также генценовские варианты интуиционистских систем. Были предложены различные интерпретации интуиционистской логики. Колмогоров предложил трактовать ее как "логику задач", Клини предложил понятие "реализуемости", использующее теорию алгоритмов для толкования формул; были предложены топологические модели для интуиционистской логики и т. д. В СССР знамя Брауэра подхватила школа Маркова, написав на нем, впрочем, "конструктивизм" вместо идеологически сомнительного "интуиционионизма" и более последовательно ограничиваясь конечными объектами. Крипке в 1960-е годы предложил некоторую семантику (определение истинности), согласованную с интуиционистским исчислением высказываний и весьма естественную (даже странно, что ее не придумали раньше); замечательным образом оказалось, что она в некотором смысле близка к методу форсинга, который примерно в это же время придумал Коэн, чтобы доказать независимость аксиомы выбора и континуум-гипотезы в теории множеств.

Возвращаясь к интуиционистскому исчислению высказываний, приведем несколько выводимых формул.

  • Чтобы понять смысл формулы (A\hm\to B)\hm\to
(\lnot B\hm\to\lnot A), вспомним, что отрицание \lnot X можно толковать как (X\to\perp), где \perp — заведомо ложное утверждение. Эта формула говорит, что если из A следует B, а из B следует заведомо ложное утверждение, то из A следует заведомо ложное утверждение (частный случай транзитивности отношения следования). Вывод ее не использует закона исключенного третьего. В самом деле, по лемме о дедукции (доказательство которой остается тем же и для интуиционистского исчисления высказываний) достаточно доказать, что из (A\to B) и \lnot
B выводится \lnot A. Для этого, в свою очередь, достаточно доказать, что из (A\to B), \lnot B и A выводятся две противоречащие друг другу формулы (что очевидно: это формулы B и \lnot B ).
  • Чтобы вывести формулу (A\to\lnot\lnot A), надо показать, что из A выводится \lnot\lnot A, для чего достаточно из A и \lnot A вывести две противоречащие друг другу формулы (что тривиально — годятся сами формулы A и \lnot A ).
  • Формула (\lnot\lnot\lnot A\to \lnot A) получается из двух предыдущих: положим B равным \lnot\lnot A в первой из них.
  • Формула (\lnot A\to \lnot\lnot\lnot A), с другой стороны, есть частный случай второй формулы, так что три отрицания равносильны одному.
  • Коммутативность и ассоциативность операций \land и \lor, так же как и два свойства дистрибутивности, не опирались на закон исключенного третьего.
  • По-прежнему ((A\lor B)\to C) равносильно ((A\to
C)\hm\land(B\to C)) (импликации в обе стороны, связывающие эти формулы, выводимы в интуиционистском исчислении высказываний).
  • Взяв \perp в качестве C в предыдущих формулах, мы видим, что один из законов Де Моргана (а именно, закон {\lnot (A\lor B)\leftrightarrow\lnot A \land \lnot B} ) не опирается на закон исключенного третьего (что легко проверить и непосредственно).
  • Формулу \lnot\lnot (A\lor \lnot A) сохранившийся закон де Моргана позволяет переписать в виде \lnot (\lnot A \land \lnot\lnot A), и нужно лишь вывести из (\lnot A \land \lnot\lnot A) две противоположные формулы, что очевидно.
< Лекция 3 || Лекция 4: 12345 || Лекция 5 >