Опубликован: 24.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 706 / 30 | Оценка: 4.60 / 4.30 | Длительность: 25:56:00
Специальности: Программист
Лекция 4:

Контрпример

< Лекция 3 || Лекция 4: 12345 || Лекция 5 >

31. Провести подробно доказательство выводимости в интуиционистском исчислении высказываний всех перечисленных формул.

С другой стороны, многие законы классической логики перестают быть выводимыми без закона исключенного третьего. Таковы, например, формулы

\begin{align*}
      &\lnot\lnot p \to p,\\
      & p \lor \lnot p,\\
      &\lnot p \lor \lnot\lnot p,\\
      &(\lnot q\to \lnot p) \to (p\to q),\\
      &\lnot (p\land q) \to (\lnot p\lor\lnot q),\\
      &((p\lor q)\to p) \lor ((p \lor q)\to q).
 \end{align*}
Мы пишем здесь переменные p и q, а не произвольные формулы, поскольку результат подстановки некоторых формул вместо p и q может быть выводимой формулой. Например, если вместо p в первую из перечисленных формул подставить формулу \lnot A, то получится выводимая формула \lnot\lnot\lnot A \to \lnot A.

Довольно ясно, что эти формулы не согласуются с интуиционистским подходом. Например, в предпоследней формуле говорится, что если мы опровергли предположение (p \land q), то мы можем указать на одно из предположений p и q и предъявить его опровержение. Вряд ли такой переход можно считать обоснованным с интуиционистской точки зрения. Но, разумеется, формальный вопрос о выводимости требует формального ответа.

Начнем с закона исключенного третьего.

Теорема 24.Формула p\lor\lnot p не выводима в интуиционистской логике.

В классической логике каждая пропозициональная переменная может принимать два значения — истина ( И ) и ложь ( Л ). В зависимости от значений переменных каждой формуле также приписывается значение И или Л. Расширим множество истинностных значений, добавив новое значение Н (если угодно, можно считать это сокращением слова "неизвестно"). Мы отождествляли И с единицей, а Л — с нулем, так что логично отождествить Н с числом 1/2.

Мы докажем, что интуиционистски выводимые формулы всегда принимают значение И, а формула p\lor\lnot p не такова, и потому не выводима.

Чтобы определить значения формул в трехзначной логике, необходимо задать таблицы истинности для всех пропозициональных связок. Конъюнкцию определим как минимум из двух значений (так что, например, \text{Л} \land \text{Н} = \text{Л}, а \text{И} \land \text{Н} = \text{Н} ), а дизъюнкцию — как максимум. Отрицание действует так: \neg\text{И}=\text{Л}, \neg\text{Л}=\text{И}, \neg\text{Н}=\text{Л}. (Последнее может показаться странным: почему бы не считать, что \lnot\text{Н}=\text{Н}? Оказывается, так нельзя — например, потому, что тогда формула \lnot (p\land\lnot p), которая выводима в интуиционистской логике, будет иметь значение \text{Н} при p=\text{Н}.)

Сложнее всего определение истинности для импликации. Мы полагаем, что

(\text{И}\to x)=x \quad\text{и}\quad (\text{Л}\to x)=\text{И}
для любого истинностного значения x, а также что
(\text{Н}\to\text{Л})=\text{Л}, \quad (\text{Н}\to\text{Н})=\text{И} \text{ и }(\text{Н}\to\text{И})=\text{И}.

Назовем формулу 3 -тавтологией, если она принимает значение И при любых значениях переменных из множества \{\text{И},\text{Л},\text{Н}\}. Теперь надо проверить две вещи: (1) все аксиомы интуиционистского исчисления являются 3 -тавтологиями; (2) если посылка импликации и вся импликация являются 3 - тавтологиями, то и заключение тоже является 3 -тавтологией. Второе сразу ясно из определения импликации, а первое надо аккуратно проверять, составив таблицы для всех аксиом. Мы не будем этого подробно делать, поскольку это чисто механическая проверка и поскольку чуть позже мы сможем вывести это из более общего утверждения.

Следовательно, всякая интуиционистски выводимая формула является 3 -тавтологией. Теперь заметим, что формула p\lor\lnot p принимает значение Н при p=\text{Н} и потому не является 3 -тавтологией — значит, невыводима.

32. Покажите, что всякая 3 -тавтология является тавтологией в обычном смысле.

Использованный нами прием годится не всегда. Например, интуиционистски невыводимая формула \lnot p \lor\lnot\lnot p является 3 -тавтологией, поскольку (согласно нашему определению) формула \lnot p может принимать только значения И и Л.

33. Какие из перечисленных нами интуиционистски невыводимых формул являются 3 -тавтологиями?

Более общий способ установления недоказуемости (невыводимости) различных формул доставляют шкалы Крипке (или модели Крипке, как еще говорят).

Чтобы задать шкалу Крипке, нужно:

  • указать частично упорядоченное множество \langle W,\le\rangle, называемое множеством миров;
  • для каждого мира указать, какие из пропозициональных переменных считаются истинными в этом мире (остальные переменные считаются ложными в этом мире). Если переменная x истинна в мире w, мы пишем w\Vdash x.

При этом требуется, чтобы было выполнено следующее: если u\le
v и u\Vdash x, то v\Vdash x (область истинности любой переменной наследственна вверх).

Когда шкала задана, можно определить истинность любой формулы (в данном мире) индукцией по построению формулы. Мы пишем w\Vdash
A, если в мире w истинна формула A. Вот индуктивное определение:

  • w\Vdash  A\land B, если w\Vdash A и w\Vdash B ;
  • w\Vdash  A\lor B, если w\Vdash A или w\Vdash B ;
  • w\Vdash  A\to B, если в любом мире u\ge w, в котором истинна формула A, истинна также и формула B ;
  • w\Vdash\neg  A, если ни в каком мире u\ge w формула A не является истинной.

Формула, не являющаяся истинной (в данном мире), называется ложной (в нем).

Определение истинности для отрицания, как легко проверить, согласовано с пониманием \lnot A как A\to{\perp}, где \perp — тождественно ложная (во всех мирах) формула.

Именно определение импликации (и отрицания) использует порядок на множестве миров. Если формула содержит лишь конъюнкции и дизъюнкции, то ее истинность по существу определяется отдельно в каждом мире.

Индукцией по построению формулы A легко проверить, что если она истинна в каком-то мире, то истинна и во всех больших мирах. В самом деле, пересечение и объединение двух наследственных вверх множеств также обладает этим свойством, так что для случая конъюнкции и дизъюнкции можно сослаться на предположение индукции. А для импликации даже и этого не нужно, достаточно посмотреть на определение.

Философский смысл шкал Крипке иногда объясняют так. Пусть W есть множество возможных состояний цивилизации (миров); w\le u означает, что мир u может получиться из мира w в результате развития цивилизации. Утверждение w\Vdash A означает, что в мире w установлено, что высказывание A истинно. (При этом оно останется истинным и при дальнейшем развитии цивилизации.) Истинность \lnot A в мире w означает, что ни при каком развитии цивилизации из состояния w высказывание A не станет истинным.

Определение истинности отрицания в шкалах Крипке предвосхитил Пушкин, когда писал "нет правды на земле. Но правды нет и выше, \ldots " (Моцарт и Сальери).

34.Во что превращается определение истинности в шкале Крипке, если в ней только один мир? если в ней никакие два мира не сравнимы?

< Лекция 3 || Лекция 4: 12345 || Лекция 5 >