Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3790 / 1086 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 7:

Интерполяция функций

Интегрируя последнее соотношение еще раз, получаем:

\begin{gather*}
S(t) = \frac {1}{6\tau_n} (m_n (t_{n + 1} - t)^3 + m_{n + 1} (t - t_n)^3) +  \\    
+ \alpha_n  (t_{n + 1} - t) + \beta_{n + 1}  (t - t_n ). 
\end{gather*}

An — константа интегрирования. После второго интегрирования положим A_n t + B_n = (\beta_n - \alpha_n)t + \alpha_n t_{n + 1} - \beta_n t_n , т.е. вместо двух констант An, Bn введем две новые константы, более удобные для дальнейших выкладок.

Из условий S(tn) = fn, S(tn + 1) = fn + 1, получаем:

\begin{gather*}
 f_n = \frac{{m_n \tau_n^2 }}{6} + \alpha {}_n\tau_n \Rightarrow \alpha_n = \frac{{f_n}}{{\tau_n}} - \frac{{m_n\tau_n}}{6}. \\  
 f_{n + 1} = \frac{{m_{n + 1} \tau_n^2 }}{6} + \beta {}_n\tau_n \Rightarrow \beta_n = \frac{{f_{n + 1}}}{{\tau_n}} - \frac{{m_{n + 1} \tau_n}}{6}. \\   
A_n = \frac{{f_{n + 1} - f_n}}{{\tau_n}} - \frac{{(m_{n + 1} - m_n)\tau_n}}{6}.
\end{gather*}

Приравняем первые производные в tn справа и слева S't(tn + 0) = S't(tn - 0), получим систему уравнений для определения коэффициентов сплайна:

$  \frac{m_n \tau_{n - 1}}{2} - \frac{m_{n - 1} \tau_{n - 1}}{2} + \frac{f_n - f_{n - 1}}{\tau_{n - 1}} - \frac{(m_n - m_{n - 1})\tau_{n - 1}}{6} =  \\ 
{= \frac{m_{n + 1} \tau_n}{2} - \frac{m_n \tau_n}{2} + \frac{f_{n + 1} - f_n}{\tau_n} - \frac{(m_{n + 1} - m_n)\tau_n}{6}, }
   $ ( 6.3)

которая дополняется соответствующими граничными условиями. В случае свободного сплайна m0 = mN = 0.

Систему для определения коэффициентов, называемых моментами кубического сплайна, можно записать в матричной форме

\mathbf{AM} = \mathbf{F},

где \mathbf{A} — квадратная матрица:

$  
\mathbf{A} = \left( \begin{array}{cccccc}
{\frac {\tau_1 + \tau_2}{3}} & {\frac {\tau_2}{6}} & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 
{\frac{\tau_2}{6}} & {\frac {\tau_2 + \tau_3}{3}} & {\frac{\tau_3}{6}} & \ldots & 0 & 0 \\ 
0 & {\frac{\tau_3}{6}} & {\frac {\tau_3 + \tau_4}{3}} & \ldots & 0 & 0 \\ 
 \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 
0 & 0 & 0 & \ldots & {\frac{\tau_{N - 1}}{6}} & {\frac{\tau_N + \tau_{N - 1}}{3}} \\ 
\end{array} \right)
  $

\mathbf{M} и \mathbf{F} — векторы - столбцы:

$  {\mathbf{M}} = (m_1, m_2, \ldots , m_{N - 1})^T , \\  
 {\mathbf{F}} = {\left(\frac {f_2  - f_1}{\tau_1} - \frac{f_1  -  f_0}{\tau_0}, 
\frac {f_3  -  f_2}{\tau_2} - \frac{f_2 - f_1}{\tau_1}, \ldots , \frac {f_N -  f_{N - 1}}{\tau_N} - 
\frac{f_{N - 1} -  f_{N - 2}}{\tau_{N - 1}}\right)}^T.  $

Матрица \mathbf{A} симметрична, имеет свойство диагонального преобладания и, как можно показать, положительно определена, а следовательно, неособенная. Значит, решение рассматриваемой СЛАУ существует и единственно. Следовательно, и задача о построении кубического сплайна имеет единственное решение. Для других типов краевых условий доказательство проводится аналогично. Метод решения такой СЛАУ, который будет рассмотрен в "Численное решение краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений" — прогонка.

Теорема (без доказательства.) Для функции f(t) \in C^4 [a, b] и интерполирующего ее сплайна S (t), построенного на сетке \{t_n\}_{n = 0}^{N}, имеют место следующие неравенства:

\begin{gather*}
 \left\|{f(t) - S(t)}\right\|_{[a, b]}  \le M_4 \tau ^4, \\   
\left\|{f^{\prime}(t) - S^{\prime}(t)}\right\|_{[a, b]} \le M_4 \tau ^3, \\   
\left\|{f^{\prime\prime}(t) - S^{\prime\prime}(t)}\right\|_{[a, b]}  \le M_4 \tau ^2, 
\end{gather*}

где M4 = || f(4)(t) ||[a, b], \tau = \max\limits_n (t_{n + 1} - t_n).

Отсюда следует, что при \tau\rightarrow 0 последовательность функций S(k)(t), i = 0, 1, 2 (кубический сплайн и первые две его производные) сходится, соответственно, к f(k)(t).

Теорема (экстремальное свойство кубических сплайнов (без доказательства.) Пусть сплайн S(t) интерполирует функцию f(t) на системе узлов

\left\{{t_n}\right\}_{n = 0}^{N}; t_0 = a, t_N = b.

Тогда S(t) с краевыми условиями S''(a) = S''(b) = 0 доставляет минимум функционалу

\int\limits_{a}^{b}{[F^{\prime\prime}(t)]^2 }dt

среди всех функций F(t) \in C^2_2 [a, b], т.е. функций, имеющих интегрируемые с квадратом вторые производные (\int\limits_{a}^{b}{{[F^{\prime\prime}(t)]}^2 dt}) сходится на отрезке [a, b] ) и интерполирующих f(t) на отрезке [a, b].

Локальный сплайн. Локальная форма сплайн - интерполяции предложена В. С. Рябеньким [6.9], [6.10]. Рассмотрим неравномерную сетку: tn - tn - 1 = hn - 1, tn + 1 - tn = hn. В узлах сетки определены значения функции: fn - 1, fn , fn + 1. Не вдаваясь в детали, приведем важные для практического использования формулы в случае постоянного шага сетки h = const . Построим интерполяционный полином второго порядка P2(x) в форме Ньютона (d - fn)/h:

tn-1 fn-1
$  \frac{f_n - f_{n - 1}}{h}  $

$  \frac{f_{n + 1} - f_n}{h}  $

$  \frac{f_{n - 1} - 2f_n + f_{n + 1}}{h^2}  $
tn fn
tn+1 fn+1
\begin{gather*}
P_2 (t, f_n) = f_{n - 1} + \frac{{f_n - f_{n - 1}}}{h} (t - t_{n - 1}) +  \\
+ \frac{f_{n - 1} - 2f_n + f_{n + 1}}{h^2 } (t - t_{n - 1})(t - t_n),
\end{gather*} ( 6.4)

Этот полином приближает f на отрезке [ tn - 1, tn + 1 ] с точностью до o(h2). Рассмотрим теперь полином

\begin{gather*}
Q_5 (t, f_n) = P_2 (t, f_n) + \frac{h^3}{2} \left\{{\frac{f_{n + 2} - 3f_{n + 1} + 
3f_n - f_{n - 1}}{h^3} \times }\right. \\  
 \left. {\times \left({\frac{t - t_n}{h}}\right)^3 \left({\frac{t - t_{n + 1}}{h}}\right)\left({3 - \frac{2(t - t_n)}{h}}\right)}\right\},
\end{gather*}

представляющий собой аппроксимацию функции f на отрезке [tn - 1, tn + 1] с непрерывными первой и второй производными. В [6.1] доказано, что выражение (6.4) аппроксимирует f_x^{(m)} с порядком o(h3 - m) во всех точках отрезка. Так как коэффициенты сплайна зависят от значений функции лишь в 4-х соседних точках и для определения коэффициентов (6.4) не требуется решать систему линейных уравнений, такая кусочно - гладкая интерполяция называется локальным сплайном.

Замечание. Q5(t, fn) уже не обладает экстремальным свойством.