Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3790 / 1086 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 7:

Интерполяция функций

6.14. Задачи для самостоятельного решения

  1. Покажите, что интерполяционный полином в форме Лагранжа может быть построен в соответствии со следующими рекуррентными формулами: L0(t) = f(t0),

    \begin{gather*}
L_n (t) = L_{n - 1} (t) + \left[{f(t_n) - L_{n - 1} (t)}\right] + \frac{{P_n (t)}}{{P_n (t_n)}}, \\
P_1 (t) = t - t_0, P_{n + 1}(t) = P_n(t)(t - t_n).
\end{gather*}

  2. Построить интерполяционный кубический полином P_3 (t)  = \sum\limits_{i = 0}^3{a_i t^{i}} , для которого выполнено P3(1) = 1, P3(2) = 2, P3(3) = 2, a3 = 1.
  3. Построить интерполяционный полином в форме Лагранжа для функций f(t) = | t |, f(t) = t2 по узлам - 1; 0; 1 ; и - 2; - 1; 0; 1; 2.
  4. Оценить погрешность интерполяции функции f(t) = sin t на отрезке [0;\pi /4] по трем равноотстоящим узлам.
  5. Оценить, какое количество узлов интерполяции потребуется на отрезке [0; \pi /4] для обеспечения точности \varepsilon  = 10^{ - 3} при интерполяции функции sin t.
  6. Привести примеры непрерывных функций, для которых расходится последовательность интерполяционных полиномов (на равномерной сетке).
  7. Какой величины необходимо выбрать шаг интерполирования \tau для обеспечения точности \varepsilon  \le 10^{- 4} интерполяции функции f(t) = \sqrt[3]{t}, t \in [1;10^3 ] при линейной и квадратичной интерполяции?
  8. Пусть имеется таблица функции f(t) = sin t в равноотстоящих точка \{t_n\}_0^N, причем \max\limits_n (t_{n + 1} - t_n) = \tau 
. При каком \tau линейная интерполяция позволит восстановить f(t) с точностью \varepsilon  \le 10^{- 4}? Тот же вопрос для квадратичной интерполяции. Решить задачу для случаев равномерной и неравномерной сеток \{t_n\}_0^{N}.
  9. Как оценить погрешность интерполяционного процесса, если интерполируемая функция задана таблично?
  10. По заданным значениям функции
    t 1 2 2,5 3
    f - 6 - 1 15,6 16

    найти значение t, при котором f(t) = 0 (решение уравнения f(t) = 0 для заданной функции методом обратной интерполяции ).

  11. Построить линейный и кубический сплайны по значениям функции f(t) в точках {0, 1} и {0, 1, 2} соответственно.
  12. Показать, что система линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов сплайна (6.3) всегда имеет единственное решение. Показать, что для этой системы устойчив метод прогонки. Оценить число обусловленности системы (6.3) в случае, когда h_n  \equiv h не зависит от номера узла.