Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3790 / 1086 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 7:

Интерполяция функций

6.7. Многочлены Чебышёва и минимизация остаточного члена интерполяции

Многочленом Чебышева первого рода называется функция Tn(t) = cos (n arccos t), где t \in \left[{- 1, 1}\right], n = 0, 1, \ldots

Убедимся в том, что функция Tn(t) действительно является многочленом. При n = 0 и n = 1 имеем T0(t) = 1, T1(t) = t.

Положив \theta  = \arccos t, получим T_{1}(t) = \cos \theta , T_{n}(t) = \cos n \theta, T_{n - 1}(t) = \cos (n - 1)\theta , T_{n + 1}(t) = \cos (n + 1)\theta. По формуле суммы косинусов \cos (n + 1)\theta  + \cos (n - 1)\theta  = 2\cos \theta   \cos n\theta, и справедливо рекуррентное соотношение Tn + 1(t) + Tn - 1(t) = 2T1(t)Tn(t), или Tn + 1(t) = 2t Tn(t) - Tn - 1(t). Отсюда следует вид записи полиномов Чебышева: T2 = 2t2 - 1, T3(t) = 4t3 - 3t, T4(t) = 8t4 - 8t2 + 1 и так далее. Функции Tn(t) являются многочленами степени n со старшим членом 2n - 1tn.

Введем также нормированные многочлены Чебышева

$  \bar {T_n} (t) = \frac{T_n (t)}{2^{n - 1}}  $.

Нули многочлена Чебышева находятся из очевидного уравнения Tn(t) = cos (n arccos t) = 0, откуда

$  t_m = \cos \left({\frac{{2m - 1}}{n}\pi }\right), m = 1, 2, \ldots n, t \in [{- 1, 1}]  $.
Для произвольного отрезка [a, b] нули полинома Чебышева получаются очевидным линейным преобразованием, выражения для них будут
$  t_m = \frac{a + b}{2} + \frac{b - a}{2}\cos \left({\frac{2m - 1}{2n}\pi }\right), m = 1, 2, \ldots n  $.
Легко отыскиваются также точки экстремумов полинома Чебышева, для них | Tn(t) | = 1 и на отрезке t \in [- 1, 1] точки экстремумов есть
$  t_m = \cos (\frac{m}{n}\pi ), m = 1, 2, \ldots n  $.

Нас интересует решение следующей задачи на минимакс: найти

\min\limits_{\left\{t_n\right\}_{n = 0}^{N}}\left\{\max\limits_{t \in [- 1, 1] } \left|{\mathop \Pi\limits_{n = 0 }^{N}(t - t_n)}\right| \right\}

чтобы путем выбора узлов сетки минимизировать остаточный член интерполяции. Эта задача была решена П.Л.Чебышевым.

Теорема. (Чебышева (без доказательства)) Среди всех многочленов степени n \ge 1, со старшим коэффициентом an равным единице, наименьшее уклонение от нуля, равное 21 - n, имеет нормированный полином Чебышева \bar {T_n} (t) = 2^{1 - n} T_n (t), t \in \left[{- 1, 1}\right].

Это свойство полиномов Чебышева, наименьшее уклонение от нуля, можно сформулировать по - другому: для любого полинома Pn(t) = tn + an - 1tn - 1 + ... + a0, отличного от $ \bar {T_n} (t) $ справедливо 2^{1 - n} = \max\limits_{\left[{- 1, 1}\right]} \left|{\bar {T_n} (t)}\right| < \max\limits_{\left[{- 1, 1}\right]} \left|{P_n (t)}\right|, t \in \left[{- 1, 1}\right].

Если в качестве интерполяционных узлов выбрать нули полинома Чебышева, то произведение {\mathop \Pi\limits_{j = 0}^{N + 1} (t - t_j)}, а также Rn(t) будут наименее уклоняющимися от нуля.

6.8. Обусловленность задачи интерполяции. Постоянная Лебега

В процессе вычислений значения интерполируемой функции известны с некоторой погрешностью. При работе на вычислительной машине ошибки округления неизбежны. Возникает вопрос о чувствительности интерполяционного полинома к ошибкам начальных данных (обусловленности задачи интерполяции ) и к ошибкам округления (вопрос вычислительной устойчивости). Интерполяционный полином — оператор, линейный по отношению к значениям интерполируемой функции. С учетом погрешности начальных данных полином в форме Лагранжа может быть записан следующим образом:

L_N (t) = \sum\limits_{n = 0}^{N}{f_n}\varphi_n^{N} (t) + \sum\limits_{n = 0}^{N}{\delta f_n} \varphi_n^{N} (t),

причем слагаемое

\Delta_N (t, \delta f) = \sum\limits_{n = 0}^{N}{\delta f_n} \varphi_n^{N} (t)

характеризует чувствительность к ошибкам начальных данных и ошибкам вычислений. Нас интересует оценка

\max\limits_{t \in \left[{a, b}\right]} \left|{\Delta_N (t, \delta f)}\right| \le l_N \delta ; 
\delta = \max\limits_{t \in \left[{a, b}\right]} \left|{\delta f_n}\right|, l_N = \max\limits_{t \in 
[a, b]}\sum\limits_{n = 0}^{N} \left|\varphi_n^{N} (t)\right|,

коэффициент lN называется постоянной Лебега.

Введем в рассмотрение еще один объект. Пусть \sum {\left|{\varphi_i^{N} \left(x\right)}\right|} - сумма модулей всех базисных функций. Обозначим ее {L}\left(x\right) = \sum {\left|{l_i^{N} \left(x\right)}\right|} - функция Лебега (сетки). Тогда константа Лебега l_N = \sup\limits_{x \in \left[{a, b}\right]}{L}\left(x\right).

Так как функция Лебега зависит лишь от расположения узлов сетки, то и константа Лебега зависит лишь от введенной сетки. Обусловленность и устойчивость задачи интерполяции зависят от константы Лебега.

Если рассматривать оператор интерполяции как оператор проекции (проектор), переводящий элемент одного пространства (пространства сеточных функций) в другое (пространство непрерывно дифференцируемых функций), то постоянная Лебега есть норма такого оператора проекции. Подробнее об этом в [6.7].

Конечно, реальная погрешность при интерполяции будет заведомо меньше, чем приведенная выше оценка. Тем не менее, оценка является достижимой (это свойство нормы оператора). Наихудшим распределением погрешности будет такое распределение, когда погрешности максимальны и меняют знак от точки к точке. То, что при этом будет достижима приведенная выше оценка, следует из вида функции Лебега и каждой из базисных функций. Предлагаем читателям соответствующие построения провести самостоятельно.

Приведем (без доказательства) примерные оценки роста постоянной Лебега в зависимости от числа узлов сетки. Константа Лебега растет примерно как l_{N} \sim  2^{N} для равномерной сетки и l_{N} \sim  ln (N) для сетки с чебышевским набором узлов. Доказано, что рост константы Лебега для последней сетки асимптотически стремится к минимально возможному, и сетка с чебышевскими узлами близка к оптимальной для задач интерполяции.