Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3790 / 1086 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 7:

Интерполяция функций

6.5. Теорема об остаточном члене интерполяции

Введем понятие остаточного члена интерполяции для оценки погрешности

R_N (t) = f({t}) - L_N (t). ( 6.1)

Теорема. Пусть функция f(t) имеет на отрезке [a, b] N + 1 ограниченную производную. Тогда

$  R_N (t) = \frac{1}{(N + 1)!} {\mathop \Pi\limits_{j = 0}^{N} (t - t_j)} \cdot f^{(N + 1)}(\xi ),
где \xi  \in \left[{a, b}\right]  $.

Доказательство.

Рассмотрим функцию

$  {\psi}(x) = f(x) - L_N (x) - R_N (t)\frac{(x - t_0 )(x - t_1 ) \ldots (x - 
t_N)}{(t - t_0 )(t - t_1 ) \ldots (t - t_N)},   $

имеющую, по крайней мере, N + 1 производную. По условию, эту производную имеет f(x), а два остальных члена — полиномы.

Кроме того, {\psi}(x) на [a, b] имеет, по крайней мере, N + 2 нуля.

Их можно указать. Точки x = tn (n = 0, …, N) — нули, поскольку f(tn) = L(tn), а последнее слагаемое обращается в них в нуль. N + 2 нулем является точка x = t в силу определения остаточного члена. Далее, поскольку между каждыми двумя нулями непрерывно дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль ее производной, на [a, b] имеется хотя бы N + 1 нуль {\psi}^{\prime}. Применяя это рассуждение к \psi^{\prime\prime}, \psi^{\prime\prime\prime}, \ldots можно показать, что существует точка \xi \in [a, b] такая, что {\psi}^{(N + 1)}(\xi ) = 0.

Вычислим N + 1 производную правой части выражения для f(x) с учетом того, что L(N + 1) = 0. Кроме того, в точке \xi

\begin{gather*}
{\psi}^{(N + 1)} (\xi ) = f^{(N + 1)} (\xi ) - L^{(N + 1)} (\xi ) - \frac{d^{N + 1}}{dx^{N + 1}}\left[{R_N (t) \cdot \frac{(x - t_0 ) \ldots (x - t_N)}{(t - t_0 ) \ldots (t - t_N)}}\right]_\xi, \\ 
L^{(N + 1)} (\xi ) = 0; {\psi}^{(N + 1)} (\xi ) = 0; \\ 
\frac{d^{N + 1}}{dx^{N + 1}} \left. \left[\frac{(x - t_0 ) \ldots (x - t_N)}{(t - t_N) \ldots (t - t_N)}\right]\right|_{x = \xi} = \frac {(N + 1)!}{\mathop \Pi\limits_{j = 0}^N (t - t_j)} \end{gather*}
Тогда
$  f^{(N + 1)} (\xi ) - R_N (t) \cdot \frac{{(N + 1)!}}{{ \mathop \Pi\limits_{j = 0}^{N} (t - t_j)}} = 0  $,
откуда получим выражение для RN(t):
$  R_N (t) = \frac{{f^{(N + 1)} (\xi )}}{{(N + 1)!}}{ \mathop \Pi\limits_{j = 0}^N (t - t_j)}  $

Рассмотрим некоторые важные следствия этой теоремы.

Следствие (точность интерполяции на равномерной сетке). Положим, что t_n = n\tau, \tau = (b - a)/N, t \in \left[{a, b}\right], — сетка равномерная. В этом случае имеет место оценка

$  \left|{R_N (t)}\right| \le \frac{{\tau ^{N + 1}}}{{N + 1}}C, 
C = \max\limits_{t \in \left[{a, b}\right]} \left|{f^{(N + 1)}(t)}
\right|.  $

Доказательство. Пусть t = t_k + \alpha \tau , \alpha  \in \left[{0, 1}
\right], k = 0, 1, \ldots , N - 1.

Тогда t - t_n = k\tau + \alpha \tau - n\tau = (k + \alpha - n)\tau ; откуда {\mathop \Pi\limits_{n = 0}^{N} (t - t_n)} = \tau ^{N + 1} {\mathop \Pi\limits_{n = 0}^{N} (k + \alpha - n)}. Можно показать, что {\mathop \Pi\limits_{n = 0}^{N}} \left|{k + \alpha - n}\right| \le N! . Остаточный член оценивается следующим образом:

$  R_N (t) = \frac{f^{(N + 1)} (\xi )}{(N + 1)!} {\mathop \Pi\limits_{n = 0}^{N} (t - t_n)}  $,
поэтому с учетом приведенных оценок получим

$  \left|R_N(t)\right| \le \frac {\tau^{N + 1}}{N + 1} \max\limits_{\xi \in \left[{a, b}\right]} \left|{f^{(N + 1)} (\xi)}\right|.  $

Рассмотрим, как ведет себя оценка в задаче экстраполяции при удалении точки t от интервала [t0, tN]. При t \in \left[{t_N , t_N + \tau }\right] имеем \left|{R_N (t)}\right| \le \tau ^{N + 1} \cdot \max\limits_{\xi  \in [t_0, t_N + \tau ]} \left|{f^{(N + 1)} (\xi )}\right|, поскольку {\mathop \Pi\limits_{n = 0}^{N + 1}} \left|{k + \alpha - n}\right| \le (N + 1)!. При

t \in \left[{t_N + \tau , t_N + 2\tau }\right] \left|{R_N (t)}\right| \le (N + 2) \tau ^{N + 1} \cdot \max\limits_{\xi  \in [t_0, t_N + 2\tau ]} \left|{f^{(N + 1)} (\xi )}\right|,
так как {\mathop \Pi\limits_{n = 0}^{N + 2}} \left|{(k + \alpha - n)}\right|  \sim  (N + 2)!

При

t \in \left[{t_N + 2\tau , t_N + 3\tau }\right]
$  \left|{R_N (t)}\right| \le \frac {(N + 2)(N + 3)}{2!} \tau ^{N + 1} \max\limits_{\xi  \in [t_0, t_N + 3\tau ]} \left|{f^{(N + 1)}(\xi )}\right|  $,
и так далее.

Видно, что ошибка экстраполяции растет быстро, но не сразу: экстраполяция допустима на интервалах \sim  O(\tau ).