НОУ ИНТУИТ | Квантовые вычисления. Лекция 8: Теория групп

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 03.06.2019 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 14 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

На первый взгляд странно, что порядок множителей меняется при обращении произведения. Можно, конечно, сказать, что в данном случае произведение матриц и обращение согласуются с принципом " Носки и Обувь". Утром, когда одеваемся, вначале одеваем носки, а затем одеваем обувь. Вечером все выполняется в обратном порядке, - вначале снимаем обувь, затем снимаем носки.

Справедливость этого порядка можно доказать, умножив обе части этого равенства слева на матрицу (АВ):

$(АВ)(В^{-1}А^{-1}) = А(ВВ^{-1})А^{-1} = АА^{-1} =I.$

Как мы видели ранее, произведение матриц в общем случае не коммутативно, так что GL(N) - некоммутативная группа.

Мы собираемся обсудить наш следующий пример более детально. Рассмотрим группу G трансформаций симметрий квадрата. Есть два типа симметричных преобразований - повороты и отражения. Тождественной трансформацией I при поворотах является поворот на угол в $0\citc$ . Другие повороты - это повороты против часовой стрелки на углы $90\circ,\; 180\circ\;, 270\circ$ . Обозначим эти повороты соответственно R_1, R_2, R_3 . Группа G содержит также 4 отражения. Два отражения Т_1 и Т_2 с осями, проходящими через середины противоположных сторон квадрата, и два отражения V_1 и V_2 с осями, проходящими через противоположные вершины квадрата (по диагоналям).

Т_1 - горизонтальная ось, Т_2 - вертикальная, V_1 - диагональ первого квадранта, V_2 - второго )

Будем полагать, что первый базисный вектор е_1 плоскости R^2 лежит на оси Т_1 , а вектор е_2 -на оси Т_2 .

Вычислим теперь матрицы, задающие все 8 трансформаций в G:

$I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1 \end{pmatrix},\; R_1=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0 \end{pmatrix},\; R_2=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1 \end{pmatrix},\; R_3=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0 \end{pmatrix},\\ T_!=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1 \end{pmatrix},\; T_2=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1 \end{pmatrix},\; V_1=\begin{pmatrix}0&1\\1&0 \end{pmatrix},\; V_2=\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0 \end{pmatrix}$

Мы хотим теперь вычислить таблицу умножения для этой группы. Достаточно просто вычислить произведение поворотов. Понятно, что если выполнить поворот на $270\circ$ , а затем поворот на $180\circ$ , то результатом этих двух поворотов будет поворот на $90\circ$ . Отсюда: R_2R_3=R_1 . Это позволяет заполнить четверть таблицы умножения:

Далее заметим, что таблица умножения для групп удовлетворяет принципу "Судоку", - ни один элемент таблицы не появляется дважды ни в одной строке и ни в одном столбце. Алгебраическая аргументация такова: если в строке Х появится один и тот же элемент в столбцах У и Z, то это означает, что имеет место равенство: ХУ = Х Z. Умножая обе стороны равенства слева на $Х^{-1}$ , получим: $Х^{-1}(ХУ)=Х^{-1}(ХZ)$ . Применяя законы ассоциативности, инверсии и тождественности приходим к заключению, что Y=Z, что является противоречием, поскольку все трансформации различны. Следовательно, наша посылка о том, что один и тот же элемент может появляться дважды в строке, ошибочна.

Так как элементы не могут повторяться, то каждая строка и столбец должны содержать все элементы группы. Из этого следует, что нижний левый и верхний правый углы таблицы умножения должны быть заполнены отражениями, а нижний правый угол должен содержать повороты.

Следовательно, произведение двух поворотов дает поворот. Произведение поворота и отражения независимо от порядка дает отражение. Произведение двух отражений дает поворот.

Достаточно просто заполнить первый столбец и первую строку, поскольку множителем является тождественный элемент. Мы также знаем, что отражение, примененное дважды, дает тождественный результат. Заметим также, что матрица R_2 это -I. Будучи поворотом на $180\circ$ , она трансформирует каждый вектор в его противоположность. Так как умножение на - I означает замену знаков у всех элементов на противоположный знак независимо от порядка умножения, то результаты достаточно просто вычислить. Запишем их:

Вычислим теперь Т_1R_1 и R_1Т_1 :

$Т_1R_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\1&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0 \end{pmatrix}=V_2,\\ R_1T_1=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0 \end{pmatrix}=V_2$

Это показывает, что группа симметрий квадрата не коммутативна! Поместим вычисленные значения в таблицу:

Затем, используя принцип Судоку, заполним часть клеток таблицы умножения: $Т_1R_3=V_1,\; R_3T_1=V_2,\; T_2R_1=V_1,\; T_2R_3=V+2,\; R_1T_2=V_2,\; R_3T_2=V_1$ .

Мы можем вычислить V_1R_1 и R_1V_1 , используя ассоциативный закон:

$V_1R_1=(T_2R_1)R_1=T_2(R_1R_1)=T_2R_2=T_1,\\ R_1V_1=R_1(R_1T_1)=(R_1R_1)T_1=R_2T_1=T_2$

Заполним остаток пустующих клеток двух углов таблицы:

Оставим заполнение клеток последнего угла таблицы в качестве упражнения.

Некоторые группы, которые нам хотелось бы изучать могут быть очень большими. Например, число элементов одной важной группы, называемой " Монстр", равно:

808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000.

Если бы мы решили заполнить таблицу умножения для этой группы, то нам бы не хватило чернил, так как число элементов таблицы превосходит число атомов видимой нам Вселенной.

Мы хотим разработать более эффективный и более алгебраический метод для проведения вычислений в группе.

Давайте обобщим наш предыдущий пример и рассмотрим группу симметрий D_n правильного многоугольника с n вершинами. Эта группа называется диедральной группой. Нетрудно видеть, что эта группа имеет n поворотов (на углы, кратные $360\circ/n$ ) и n отражений. Будем обозначать поворот против часовой стрелки на угол $360\circ/n$ через R. Зафиксируем одно из отражений и назовем его Т. Все повороты в диедральной группе могут быть представлены как степени R: $R, R^2, R^3, \dots , R^{n-1}, R^n = е$ . Последний поворот R^n равен е. Та же аргументация, которую мы использовали в случае квадрата, показывает, что произведение отражения и поворота дает отражение. В соответствие с принципом Судоку все отражения $Т, ТR, ТR^2, \dots , ТR^{n-1}$ различны и, следовательно, задают все отражения в диедральной группе D_n .

Это позволяет нам перечислить все элементы диедральной группы следующим образом:

$D_n = {R^i`,TR^i|i=0,1,2,\dots,n-1}.$

Отметим два равенства: R^n = е и Т^2 = е . Так как произведение R^i и Т является отражением, то квадрат этого произведения, будучи квадратом отражения, равен тождественному элементу: (R^iT)^2 = е . Отсюда следует, что произведение R^iT совпадает со своим обращением: $R^iT = (R^iT)^{-1} = Т^{-1}R^-i} = ТR^{-i)$ . Полученные три отношения: