Россия, Сургут, Сургутский Государственный Университет, 2017 |
Матрицы
Представим вектор как линейную комбинацию векторов
и
:
:
![{1\choose 0}=c_1 {1\choose 2}+c_2 {2\choose -1}](/sites/default/files/tex_cache/911d0ef0a2f5793dca5b2e9b8adee6e4.png)
Получаем два уравнения с двумя неизвестными: и
Решая уравнения получаем:
. Теперь, зная трансформации векторов
и
можно вычислить трансформацию вектора
:
![T(e_1)=1/5T(v_1)+2/5T(v_2)=1/5 {1\choose 2}-2/5 {2\choose -1}= {-3/5 \choose 4/5}](/sites/default/files/tex_cache/a67962c00b8691c3a75d20bf24fc3acf.png)
Подобным образом находим . Рассматривая
и
как столбцы матрицы Т, получим:
![\begin{pmatrix}-3/5& 4/5\\ 4/5&3/5\end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/4233e2e1fb37079abf4acbc1edd1bb24.png)
В классических вычислениях сложные задачи не решаются за один шаг Типично для достижения ответа требуется выполнить последовательность операций. Подобным образом и квантовый алгоритм проектируется не как единственная линейная трансформация, а как композиция нескольких простых линейных трансформаций.
Прежде всего, нам нужно выяснить, как вычислить матрицу композиции линейных трансформаций, если известны матрицы трансформаций Т и S.
Начнем обсуждение с соглашения о порядке операций. Традиционно для математики записывать аргумент функции f (х) или линейной трансформации Т(v) справа от имени функции. Композиция , когда она применяется к вектору v дает
. Это означает, что в композиции
множитель, который стоит справа, применяется первым.
Пусть Т и S - две линейные трансформации с матрицами А и В соответственно. Нам необходимо вычислить матрицу С композиции . Напомним, что k-й столбец матрицы С - образ
при трансформации
:
. Однако,
-это просто k-й столбец матрицы В. Отсюда следует, что k-й столбец С - это произведение матрицы А на k-й столбец В. Матрицу С, вычисляемую таким образом, назовем произведением матриц А и В: С = АВ.
Например,
![\begin{pmatrix}1&2\\3&4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}5&1\\2&0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1*5+2*2&1*1+2*0\\3*5+4*2&3*1+4*0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}9&1\\23&3 \end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/f54b8cca764cd82128c8bbe2c5bf1ec6.png)
Нетрудно заметить, что элемент матрицы произведения С, стоящий на пересечении строки с индексом m и столбца с индексом k, является скалярным произведением строки с индексом m матрицы А и столбца с индексом k матрицы В.
Подводя итог, - матрица композиции двух линейных трансформаций является произведением матриц этих трансформаций.
Мы можем также определить сумму двух матриц размера N * N, где элемент с индексами m и k матрицы суммы представляет сумму элементов с теми же индексами матриц слагаемых:
![\begin{pmatrix}1&2\\3&4 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}5&1\\2&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1+5&2+1\\3+2&4+0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}6&3\\5&4 \end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/da4a811ccff746c771a9cc132d1b955a.png)
Некоторые алгебраические свойства матричных операций совпадают со свойствами чисел: А(В + С) = АВ + АС, (А + В)С = АС + ВС. Однако, есть важная разница. Рассмотрим две матрицы:
![A= \begin{pmatrix}1&1\\-1&-1 \end{pmatrix},\; B= \begin{pmatrix}1&1\\1&1 \end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/ed318ee294a55b0525eea3b92c6f2b76.png)
Вычислим произведение АВ и ВА:
![AB= \begin{pmatrix}2&2\\-2&-2 \end{pmatrix},\; BA= \begin{pmatrix}0&0\\0&0 \end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/b5a637fc42115620e0e52bf2cb8fa04a.png)
Этот пример показывает, что произведение матриц не коммутативно: .
Этот пример также показывает, что произведение ненулевых матриц может быть нулевой матрицей.
Все же произведение матриц обладает свойством ассоциативности (АВ)С = А(ВС). Это следует из того факта, что умножение матриц соответствует композиции линейных трансформаций , так как обе стороны, примененные к вектору v, дают один и тот же результат:T(S(R(v)))
В заключение этой лекции рассмотрим одно из применений линейной алгебры к задачам тригонометрии. Рассмотрим композицию поворота на угол и поворота на угол
. Очевидно
![R_{\alpha}\circR_{\beta}=R_{\alpha+\beta}](/sites/default/files/tex_cache/4604c468d0e814600aad5cc8a24330fb.png)
Выпишем эквивалентное соотношение для матриц поворота:
![\begin{pmatrix}\cos \alpha & -\sin \alpha\\ \sin \alpha&cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos \beta& -\sin\beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos (\alpha + \beta ) & -\sin (\alpha + \beta)\\ \sin (\alpha+\beta)& \cos (\alpha + \beta) \end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/6366e6edbc601b0bf329754bc8de325c.png)
Произведение матриц в левой части равенства дает:
![\begin{pmatrix}cos \alpha cos \beta- \sin \alpha \sin \beta& -\cos \alpha \sin \beta-\sin \alpha \cos \beta\\ \sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta &\sin \alpha \sin \beta+\cos \alpha \cos \beta \end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/229bb9d20c9de8e6890cad3b8e580c49.png)
Сравнивая полученный результат с матрицей правой части равенства, приходим к известному тригонометрическому тождеству:
![\cos(\alpha + \beta) = \cos \аlpha \cos \beta - \sin \аlpha \sin \beta,\\
\sin (\аlpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \соs \аlpha \sin \beta](/sites/default/files/tex_cache/2e0e5d37c7497951df16683a08622521.png)
И это наиболее экономичное доказательство этой важной формулы.