НОУ ИНТУИТ | Основы математического моделирования. Лекция 7: Прикладные задачи дискретного программирования

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 06.11.2008 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

|

Вам нравится? Нравится 41 студенту

| Поделиться |

Поддержать программу

Простая модель развозки (Balinski M.L., Quandt R.E., On an integer program for adelivery problem. Operat. Res., 1964. 12, N2, 300-304.).

Пусть некоторая центральная база снабжает продукцией (ее можно считать однородной) m складов. Развозка продукции на склады осуществляется одним грузовиком, причем каждый склад получает свой заказ полностью в один прием –грузоподъемность грузовика для этого достаточна. Вообще же грузовик может одновременно взять груз, соответствующий не более чем заказам. Грузовик может объезжать склады по определенным r маршрутам. Разумеется, один и тот же склад может находиться на разных маршрутах.

Пусть для каждого склада известна функция затрат по доставке в зависимости, скажем, от размера заказа. Требуется составить график развозки, обеспечивающий всех клиентов и минимизирующий суммарные затраты. Подчеркнем, что время доставки здесь никак не учитывается; предполагается, что все операции по доставке заведомо могут быть осуществлены в течение некоторого периода времени, устраивающего всех заказчиков.

Под способом развозки будем понимать любую допустимую комбинацию выполнения заказов. Говоря точнее, способ развозки представляет собой -мерный столбец, -я компонента которого равна единицы, если -й заказ в этом способе удовлетворяется, и равна нулю в противном случае. Для любой реальной задачи при небольших значениях m,k,r можно фактически выписать все такие способы развозки. Число этих способов будет зависеть не только от этих параметров, но и, например, от числа складов на каждом маршруте, объема заказов и так далее. Кроме того, каждому способу развозки легко сопоставить связанные с ним затраты c_j (учитывающие, помимо упомянутых выше затрат по доставке, также стоимость работ по выгрузке и тому подобное).

Итак, пусть при данных конкретных условиях задачи составлена матрица $A=||a_{ij}||$ всевозможных способов развозки, состоящая из нулей и единиц. Столбцы этой матрицы представляют собой описанные выше способы развозки, то есть $a_{ij}=1$ , если в способе заказ удовлетворяется, и $a_{ij}=0$ в противном случае. Кроме того, пусть для каждого способа найдены соответствующие ему затраты $c_{ij}, j=1,2,...,n$ . Теперь задача состоит в выборе наиболее экономичной комбинации этих способов.

Введем переменные

$x_j \left\langle \begin{array}{ccc} \text{1, если j-й способ развозки реализуется,} \\ \text{0 в противном случае.} \end{array} \right$

( 7.15)

Теперь мы естественным образом получаем задачу минимизации суммарных затратт

$\sum\limits_{j=1}^{n}c_jx_j$ (7.16.)

при условиях (7.15.) и

$\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ij}x_j=1, i=1,2,...,m$

( 717)

.

Условия (7.17.) означают, что все заказы должны быть удовлетворены.

Обращаем внимание на то, что модель (7.15.)-(7.17.) физически совпадает со взвешанной задачей о покрытии.

Задача размещения и специализации

Ввиду огромного объема капиталовложений, стоящего за любой реальной задачей этого типа, даже небольшие улучшения первоначальных плановых наметок на деле приводят к серьезному положительному экономическому эффекту.

В связи с важной ролью, которую играет в задачах размещения и специализации пространственный фактор, большинство соответствующих моделей представляет собой варианты и обобщения классической транспортной задачи, хотя, разумеется, проблема отнюдь не исчерпывается лишь установлением схемы рациональных грузопотоков. Типичное для этих задач наличие неделимостей естественным образом влечет дискретность многих моделей .

Модели реконструкции.

Пусть имеется n способов реконструкции уже имеющихся предприятий и строительства новых (речь идет об одной отрасли). Предприятия должны производить m продуктов. При каждом способе реконструкции j(j=1,2,...,n) выпуск продукта i(i=1,2,...,m) за единицу времени (промежуток планирования) составляет $a_{ij}$ , а приведенные затраты по реализации этого способа равны c_j .

Вопрос о реконструкции и новом строительстве рассматривается для предприятий; при этом множество номеров способов реконструкции $N=N\{1,2,...,n\}$ разбито на непересекающиеся подмножества $N=N_1\cup N_2\cup ... \cup N_p$ , так, что $j \in N_k$ означает, что способ относится к предприятию k(k=1,2,...,p) . Все эти способы являются в определенном смысле взаимно исключающими: для каждого предприятия может быть реализован один и только один способ реконструкции (строительства). Требуется выбрать способы реконструкции таким образом, чтобы суммарный выпуск каждого продукта всеми предприятиями был не менее заданной величиной b_i , а суммарные затраты на реконструкцию и строительства были минимальными.

Введем переменные

$x_j \left\langle \begin{array}{ccc} \text{1, если j-й способ развозки реализуется,} \\ \text{0 в противном случае.} \end{array} \right$

( 7.18)

Тогда наша задача сведется к минимизации

$\sum\limits_{j=1}^{n}c_jx_j$

( 7.19)

при условиях

$\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ij}x_j\ge b_i, i=1,2,...,m$

( 7.20)

$\sum\limits_{j\in N_k}x_j=1,k=1,2,...,p$

( 7.21)

.

Здесь условия (7.21.) очевидным образом выражают единственность реализации способа реконструкции (строительства) для каждого из предприятий. Действительно, из (7.18.) и (7.21.) сразу следует, что в пределах каждого N_k все x_j равны нулю, за исключением одного, равного единице.

Связь модели (7.18.)-(7.21.) с задачами размещения является довольно прозрачной. Действительно, можно считать, что некоторые (или все) предприятия являются не действующими, а лишь проектируемыми, причем для каждого из них возможно осуществление не более одного способа строительства (то есть некоторые предприятия могут вообще не строиться). Тогда для индексов , отвечающих проектируемым предприятиям, можно заменить условия (7.21.) неравенствами

$\sum\limits_{j\in N_k}x_j\le 1,k=1,2,...,p$

( 7.27)

.

Теперь для некоторых N_k в оптимальном плане могут оказаться равными нулю все x_j , то есть ни один способ строительства соответствующих предприятий не будет реализован. Тем самым мы получим план размещения новых предприятий.

Описанная модель является достаточно общей; однако она не учитывает потребителей продукции и не отражает затрат на транспортировку продукции от поставщиков к потребителям. Этот момент является наиболее существенным.

Задача логического проектирования

В самые последние годы для моделей дискретного программирования наметилось одно совершенно новое поле приложений. Речь идет о довольно разнообразном круге задач оптимизации, связанных, с одной стороны, с вопросами проектирования логических и вычислительных устройств, а с другой – примыкающих к некоторым современным проблемам теоретической кибернетики (прежде всего – дискретного анализа.

Задача о расположении производственных единиц.

Пусть имеется неделимых производственных единиц, которые в дальнейшем мы для краткости будем называть центрами; каждую из этих производственных единиц требуется расположить в одном из возможных мест. Затраты, связанные непосредственно с помещением центра на место ("затраты на установку"), равны $c_{ij}(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)$ . Известны "расстояния" $d_{ij}$ от места до места (числа $d_{ij}$ вовсе не обязаны равняться соответствующим геометрическим расстояниям; они являются лишь оценкой затрат, связанных с перемещением из в ). Заданы, кроме того, производственные "потоки" $f_{ij}$ из центра в центр .

Отметим, что, не умаляя общности, можно положить m=n . Действительно, в случае m < n введем дополнительные фиктивные центры m+1,m+2,...,n , положив для них $c_{ij}=0$ при $i\ge m+1 и f_{ij}=0$ при $i\ge m+1$ или $j\ge m+1$ .

Нашей целью является назначение (закрепление) центров по местам, минимизирующее суммарные затраты. Каждое такое назначение представляет собой перестановку (p_1,p_2,...p_n) чисел (1,2,…,n) ; при этом любое из проводимых закреплений центра за местом p_i описывается соответствием $i\to p_i, i=1,2,...,n$ . Для любого назначения мы имеем, во-первых, затраты на взаимосвязь между парами центров; мы будем предполагать, что эти затраты при помещении центра в место p_i и центра в место p_j равны произведению величины потока между и на расстояние между p_i и p_j , проходимое этим потоком, то есть составляют $f_{ij}d_{p_i p_j}$ . Таким образом, требуется найти перестановку p_1,p_2,...,p_n чисел 1,2,...,n , минимизирующую суммарные затраты

$\sum\limits_{i=1}^{n}c_{ip_i}+\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}f_{ij}d_{p_ip_j}$

( 7.23)

.

Иногда в подобных задачах накладывается следующее дополнительное требование: каждый центр может быть помещен не в любое место, а лишь в одно из мест из данного списка S(i) , скажем, по соображениям веса, габаритов и тому подобное. Тогда следует присоединить к задаче условие

$p_i \in S(i), i=1,2,...,n$

( 7.24)

.

В случае независимости производственных центров все $f_{ij}=0$ , и задача минимизации (7.23.) по всем перестановкам превращается в задачу о назначениях. В этом случае $c_{ip}$ можно интерпретировать как своеобразную "меру нежелательности" назначения $i \to p_i$ или, попросту говоря, как убытки, связанные с таким назначением. Наоборот, в других задачах можно пренебречь затратами на установку $c_{ip_i}$ или считать все эти затраты одинаковыми, так что речь идет только о минимизации суммарных "затрат по взаимодействию", то есть второго слагаемого в (7.23.).

Модель (7.23.)-(7.24.) имеет весьма широкие практические приложения, отражая существенные черты многих современных задач проектирования. Так, она может быть использована в вопросах планирования расстановки оборудования в целях машиностроительных или химических предприятий. С другой стороны, она же может найти применение для задач о проектировании расположения деталей в ячейках вычислительных и управляющих устройств (например, при нахождении схем монтажа платы, минимизирующих суммарную длину соединений). Здесь эта модель описана в нарочито общих терминах в надежде, что различные более конкретные интерпретации читатель этой лекции найдет сам.

Дальше >>

Основы математического моделирования

Основы математического моделирования