НОУ ИНТУИТ | Графы и алгоритмы. Лекция 10: Раскраски

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

|

Вам нравится? Нравится 42 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Переборный алгоритм для раскраски

Рассмотрим алгоритм решения задачи о раскраске, похожий на описанный выше алгоритм для задачи о независимом множестве. Сходство заключается в том, что задача для данного графа сводится к той же задаче для двух других графов. Поэтому снова возникает дерево вариантов, обход которого позволяет найти решение. Но есть и одно существенное различие, состоящее в том, что теперь два новых графа не будут подграфами исходного графа.

Выберем в данном графе две несмежные вершины и и построим два новых графа: $G_{1}$ , получающийся добавлением ребра (x,y) к графу , и $G_{2}$ , получающийся из слиянием вершин и . Операция слияния состоит в удалении вершин и и добавлении новой вершины и ребер, соединяющих ее с каждой вершиной, с которой была смежна хотя бы одна из вершин , . На рис. 10.2 показаны графы $G_{1}$ и $G_{2}$ , получающиеся из графа , изображенного на рис. 10.1, с помощью этих операций, если в качестве и взять вершины и .

Рис. 10.2.

Если в правильной раскраске графа вершины и имеют разные цвета, то она будет правильной и для графа $G_{1}$ . Если же цвета вершин и в раскраске графа одинаковы, то граф $G_{2}$ можно раскрасить в то же число цветов: новая вершина окрашивается в тот цвет, в который окрашены вершины и , а все остальные вершины сохраняют те цвета, которые они имели в графе . И наоборот, раскраска каждого из графов $G_{1}$ , $G_{2}$ , очевидно, дает раскраску графа в то же число цветов. Поэтому

$\chi (G)=\min \{ \chi (G_{1}),\chi (G_{2})\},$

что дает возможность рекурсивного нахождения раскраски графа в минимальное число цветов. Заметим, что граф $G_{1}$ имеет столько же вершин, сколько исходный граф, но у него больше ребер. Поэтому рекурсия в конечном счете приводит к полным графам, для которых задача о раскраске решается тривиально.

Раскраска ребер

Наряду с задачей о раскраске вершин имеется задача о раскраске ребер графа, когда цвета назначаются ребрам. Раскраска ребер (или реберная раскраска) называется правильной, если любые два ребра, имеющие общую вершину, окрашены в разные цвета. Минимальное число цветов, необходимое для правильной раскраски ребер графа , называется хроматическим индексом графа и обозначается через $\chi'(G)$ .

Обозначим через $\Delta (G)$ максимальную степень вершины в графе. При правильной реберной раскраске все ребра, инцидентные одной вершине, должны иметь разные цвета. Отсюда следует, что для любого графа выполняется неравенство $\chi'(G)\ge \Delta (G)$ . Для некоторых графов имеет место строгое неравенство, например, $\Delta (C_{3} )=2$ , а $\chi'(C_{3} )=3$ . Следующая теорема, доказанная В.Г.Визингом в 1964 г., показывает, что $\chi'(G)$ может отличаться от $\Delta(G)$ не более чем на 1.