НОУ ИНТУИТ | Графы и алгоритмы. Лекция 2: Маршруты, связность, расстояния

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 27.09.2006 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

|

Вам нравится? Нравится 42 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Маршруты, пути, циклы. Связность и компоненты. Метрические характеристики графов. Маршруты и связность в орграфах. Эйлеровы пути и циклы.

Ключевые слова: маршрут, ребро маршрута, проходит, длина, соединять, начало, конец, промежуточный, замкнутый, путь, простой, цикл, Замкнутый путь, замкнутым маршрутом, слово, ребро, цикла, граф, связный, отношение соединимости, вершина, отношение, область связности, компонент связности, компонента связности, шарнир, точка сочленения, компонент, перешеек, шарниров, расстояние, функция, метрика, метрическое пространство, множество вершин, пространство, эксцентриситет, центральной, периферийной, центром, радиус, диаметром, диаметр, диаметральный путь, подграф, диаметральная цепью, Неориентированный маршрут, ориентированный, ормаршрут, орцикл, соединяет, ведет из, в, орграф, слабо связный, сильно связный, область сильной связности, компонент сильной связности, множества, словосочетание, общее правило, эйлеровый путь, эйлеровый цикл, Эйлеров цикл, Несвязный граф, изолированная вершина, мультиграф, критерий существования

Маршруты, пути, циклы

Маршрут в графе - это последовательность вершин $x_{1},x_{2}\ldots x_{n}$ , такая, что для каждого $i=1,2 \ldots n-1$ вершины $x_{i}$ и $x_{i+1}$ соединены ребром. Эти n-1 ребер называются ребрами маршрута. Говорят, что маршрут проходит через них, а число n-1 называют длиной маршрута. Говорят, что маршрут соединяет вершины $x_{1}$ и $x_{n}$ , они называются соответственно началом и концом маршрута, вершины $x_{2}\ldots x_{n-1}$ называются промежуточными. Маршрут называется замкнутым, если $x_{1} =x_{n}$ .

Путь - это маршрут, в котором все ребра различны. Путь называется простым, если и все вершины в нем различны.

Цикл - это замкнутый путь. Цикл $x_{1}, x_{2}\ldots x_{n-1},x_{1}$ называется простым, если все вершины $x_{1} ,x_{2}\ldots x_{n-1}$ попарно различны.

В графе на рисунке 2.1 последовательность вершин

- не маршрут;
- маршрут, но не путь;
- путь, но не простой;
- замкнутый маршрут, но не цикл;
- цикл, но не простой;
- простой цикл.

Рис. 2.1.

Установим некоторые простые свойства маршрутов.

Теорема 1. В любом маршруте, соединяющем две различные вершины, содержится простой путь, соединяющий те же вершины. В любом цикле, проходящем через некоторое ребро, содержится простой цикл, проходящий через это ребро.

Доказательство.

Пусть $x_{1},x_{2}\ldots x_{n}$ - маршрут. Если все его вершины различны, то это уже простой путь. В противном случае, пусть $x_{i} =x_{j}$ , $i \lt j$ . Тогда последовательность $x_{1},x_{2} \ldots x_{i-1}, x_{i}, x_{j+1}\ldots x_{n}$ , полученная из этого маршрута удалением отрезка последовательности от $x_{i+1}$ до $x_{j}$ , тоже является маршрутом. Новый маршрут соединяет те же вершины и имеет меньшую длину. Продолжая действовать таким образом, после конечного числа "спрямлений" получим простой путь, соединяющий $x_{1}$ и $x_{n}$ . Второе утверждение теоремы доказывается аналогично.

Отметим, что в формулировке теоремы 1 нельзя заменить слово "цикл" словами "замкнутый маршрут". Действительно, если $\left(a,b\right)$ - ребро графа, то последовательность a,b,a - замкнутый маршрут, проходящий через это ребро, но никакого цикла в нем нет.

Теорема 2. Если в графе степень каждой вершины не меньше , то в нем есть цикл.

Доказательство.

Найдем в графе простой путь наибольшей длины. Пусть это $x_{1}, x_{2} \ldots x_{n}$ . Вершина $x_{n}$ смежна с $x_{n-1}$ , а так как ее степень не меньше двух, то она смежна еще хотя бы с одной вершиной, скажем, с . Если бы была отлична от всех вершин пути, то последовательность $x_{1},x_{2} \ldots x_{n},y$ была бы простым путем большей длины. Следовательно, - это одна из вершин пути, $y=x_{i}$ , причем $i \lt n-1$ . Но тогда $x_{i},x_{i+1}\ldots x_{n},x_{i}$ - цикл.