НОУ ИНТУИТ | Графы и алгоритмы. Лекция 1: Начальные понятия теории графов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 27.09.2006 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

|

Вам нравится? Нравится 42 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Графы и бинарные отношения

Напомним, что бинарным отношением на множестве называется любое подмножество множества $A^{2}$ , состоящего из всевозможных упорядоченных пар элементов множества . Каждому такому отношению можно поставить в соответствие граф отношения G=(A,R) . Сравнивая с тем, что говорилось выше об определениях различных типов графов, видим, что понятие бинарного отношения эквивалентно понятию ориентированного графа с петлями. Другие типы графов без кратных ребер - это частные виды бинарных отношений. Отношение называется рефлексивным, если для любого $x\in A$ пара (x,x) принадлежит , и антирефлексивным, если ни одна такая пара не принадлежит . Отношение называется симметричным, если из $\left(x,y\right)\in R$ следует, что $\left(y,x\right)\in R$ . В графе антирефлексивного и симметричного отношения нет петель и для каждой пары вершин либо нет ни одного, либо есть два ребра, соединяющих эти вершины. Если в таком графе каждую пару ориентированных ребер, соединяющих одни и те же две вершины, заменить одним неориентированным ребром, то получится обыкновенный граф.

Откуда берутся графы

Легко найти примеры графов в самых разных областях науки и практики. Сеть дорог, трубопроводов, электрическая цепь, структурная формула химического соединения, блок-схема программы - в этих случаях графы возникают естественно и видны "невооруженным глазом". При желании графы можно обнаружить практически где угодно. Это наглядно показано в книге Д.Кнута [D.E.Knuth, "The Stanford GraphBase"] - графы извлекаются из романа "Анна Каренина", из картины Леонардо да Винчи, из материалов Бюро Экономического Анализа США и из других источников.

Немало поводов для появления графов и в самой математике. Наиболее очевидный пример - любой многогранник в трехмерном пространстве. Вершины и ребра многогранника можно рассматривать как вершины и ребра графа. При этом мы отвлекаемся от того, как расположены элементы многогранника в пространстве, оставляя лишь информацию о том, какие вершины соединены ребрами. На рис. 1.4 показаны три способа изобразить один и тот же граф трехмерного куба.

Рис. 1.4.

Еще один способ образования графов из геометрических объектов иллюстрирует рис. 1.5. Слева показаны шесть кругов на плоскости, а справа - граф, в котором каждая вершина соответствует одному из этих кругов и две вершины соединены ребром в том и только том случае, когда соответствующие круги пересекаются. Такие графы называют графами пересечений. Можно построить граф пересечений семейства интервалов на прямой, или дуг окружности, или параллелепипедов. Вообще, для любого семейства множеств $\{S_{1}\dots S_{n}\}$ можно построить граф пересечений с множеством вершин $\{1\dots n\}$ , в котором ребро (i,j) имеется тогда и только тогда, когда $i\ne j$ и $S_{i} \cap S_{j} \ne \varnothing$ . Известно, что любой граф можно представить как граф пересечений некоторого семейства множеств.

Рис. 1.5.

Число графов

Возьмем какое-нибудь множество , состоящее из элементов, и будем рассматривать всевозможные (обыкновенные!) графы с множеством вершин . Обозначим число таких графов через $g_{n}$ . Эти графы различаются только множествами ребер, а каждое ребро - это неупорядоченная пара различных элементов из . В комбинаторике такие пары называются сочетаниями из по 2, их число равно

$\begin{pmatrix}{n}\\ {2} \end{pmatrix}=\frac{n\left(n-1\right)}{2}$

Каждая пара может быть включена или не включена в множество ребер графа. Применяя правило произведения, приходим к следующему результату:

Теорема 1. $g_{n} =2^{n(n-1)/2}$ .

Смежность, инцидентность, степени

Если в графе имеется ребро e=(a,b) , то говорят, что вершины и смежны в этом графе, ребро инцидентно каждой из вершин , , а каждая из них инцидентна этому ребру.

Множество всех вершин графа, смежных с данной вершиной , называется окрестностью этой вершины и обозначается через V(a) .

На практике удобным и эффективным при решении многих задач способом задания графа являются так называемые списки смежности. Эти списки могут быть реализованы различными способами в виде конкретных структур данных, но в любом случае речь идет о том, что для каждой вершины перечисляются все смежные с ней вершины, т.е. элементы множества V(a) . Такой способ задания дает возможность быстрого просмотра окрестности вершины.

Число вершин, смежных с вершиной , называется степенью вершины и обозначается через $\deg \left(a\right)$ .

Если сложить степени всех вершин некоторого графа, то каждое ребро внесет в эту сумму вклад, равный 2, поэтому справедливо следующее утверждение:

Теорема 2. $\suml_{a\in VG}\deg (a) =2m\left(G\right)$ .

Это равенство известно как "лемма о рукопожатиях". Из него следует, что число вершин нечетной степени в любом графе четно.

Вершину степени называют изолированной.

Граф называют регулярным степени , если степень каждой его вершины равна .

Набор степеней графа - это последовательность степеней его вершин, выписанных в неубывающем порядке.

Дальше >>

Графы и алгоритмы

Графы и алгоритмы