НОУ ИНТУИТ | Теория экономических механизмов. Лекция 8: Теорема Робертса

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 05.08.2011 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 44 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Следующая лемма показывает, что значение $\delta^{1}_{xy}(\bvn i)$ зависит только от

$\bf v_{-1}(x)-\bf v_{-1}(y),$

то есть от (n-1) -мерного вектора разностей оценок всех агентов, кроме первого. Вспомним введенные ранее обозначения: $(\mathbf v - \epsilon \cdot 1_{j,z})$ означает оценку $\mathbf v,$ в которой агент уменьшил значение своей функции для альтернативы на $\epsilon$ .

Лемма 8.10.

Для каждого $L \ge 0,$ $j \ne 1,$ $\bf v_{-1} \in \bf V_{-1}$ и всякой тройки различных исходов $x, y, z \in\mathcal O$
$\delta^{1}_{xy}(\mathbf v_{-i}) = \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1} - L \cdot 1_{j,z})$ .
Пусть $x, y \in\mathcal O,$ и пусть для некоторых векторов $\bvn 1$ и $\bf v_{-1}^\prime$ верно, что
$\bvn 1(x)-\bvn 1(y) = \bf v_{-1}^\prime(x) - \bf v_{-1}^\prime(y).$

Тогда $\delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) = \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}^\prime)$ .

Доказательство.

Возьмем $\bf v_{-1}^\prime = \bf v_{-1} - L \cdot 1_{j,z}$ . Если $f(v_1, \bf v_{-1}) = x,$ то по S-MON $f(v_1, \bf v_{-1}^\prime) = x,$ и, следовательно,
$\delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) \ge \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}^\prime)$ .

Предположим противное: пусть равенство неверно, а, значит,

$\delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) > \delta^{1}_{xy}(\bvn 1^\prime).$

Сперва заметим, что, как и в предыдущих доказательствах,

$\delta^{1}_{yx}(\bf v_{-1}) \ge \delta^{1}_{yx}(\bf v_{-1}^\prime)$

Но

$\delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{yx}(\bf v_{-1}) = 0 = \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}^\prime) + \delta^{1}_{yx}(\bf v_{-1}^\prime)$ .

Но мы предполагали, что левая часть этого равенства больше, чем правая; таким образом, мы пришли к противоречию.
Зафиксируем произвольные векторы $\bf v_{-1}, \bf v_{-1}^\prime \in \bf V_{-1},$
для которых

$\bvn 1(x) - \bvn 1(y) = \bf v_{-1}^\prime(x) - \bf v_{-1}^\prime(y).$

Для каждого $j \neq 1$ и для каждого $v_j \in V_j$ условие S-MON подразумевает, что добавление аддитивной константы ко всем координатам не изменит выбора . Таким образом, мы можем без потери общности предположить, что $v_j(x) = v^\prime_j(x)$ и $v_j(y) = v^\prime_j(y)$ . Теперь определим

$v^{\prime\prime}_j(w) = \min \left\{\vphantom{1^2} v_j(w), v^\prime_j(w)\right\}$

для каждого $w \in \mathcal O$ . Тогда первый пункт этой леммы позволяет сделать вывод о том, что

$\delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) = \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}^\prime) = \delta^{1}_{xy}(v^{\prime\prime}_{-1})$ .

Вот и все, лемма доказана.

Итак, мы доказали, что $\delta^{1}_{xy}(\mathbf v_{-i})$ зависит только от $\bvn 1(x)-\bvn 1(y)$ . Таким образом, отныне мы можем рассматривать $\delta^{1}_{xy}(\bvn i)$ как функцию $\delta^{1}_{xy}(\bvn 1(x)-\bvn 1(y))$ . В этих (слегка измененных) обозначениях можно сформулировать следующее следствие.

Следствие 8.2.1. Для любой пары векторов $\bf{r}, \bf{t} \in \mathbb R^{n-1}$ и любой тройки исходов $x,y,z \in \mathcal O$ верно, что

$\delta^{1}_{xy}(\bf{r}) + \delta^{1}_{yx}(-\bf{r}) &=& 0,\\ \delta^{1}_{xy}(\bf{r}) + \delta^{1}_{yz}(\bf{t}) + \delta^{1}_{zx}(-\bf{r}- \bf{t}) &=& 0.$

В частности,

$\delta^{1}_{xy}(\bf{0}) + \delta^{1}_{yx}(\bf{0}) = 0\text{ и } \delta^{1}_{xy}(\bf{0}) + \delta^{1}_{yz}(\bf{0}) + \delta^{1}_{zx}(\bf{0})= 0.$

Лемма 8.11. Для каждого $\bf{r}, \bf{s}, \bf{t} \in \mathbb R^{n-1}$ и для любой тройки исходов $x,y,z \in \mathcal O$

$\delta^{1}_{yx}(\bf{r} + \bf{t}) - \delta^{1}_{yx}(\bf{r}) = \delta^{1}_{zx}(\bf{s} + \bf{t}) - \delta^{1}_{zx}(\bf{s}).$

Доказательство. Достаточно показать, что

$\delta^{1}_{zx}(\bf{s}) - \delta^{1}_{yx}(\bf{r}) = \delta^{1}_{zx}(\bf{s} + \bf{t}) - \delta^{1}_{yx}(\bf{r} + \bf{t}).$

По следствию 8.2.1,

$\delta^{1}_{zx}(\bf{s}) - \delta^{1}_{yx}(\bf{r}) = \delta^{1}_{zx}(\bf{s}) + \delta^{1}_{xy}(-\bf{r}) = -\delta^{1}_{yz}(\bf{r}-\bf{s}).$

Аналогично,

$\delta^{1}_{zx}(\bf{s} + \bf{t}) - \delta^{1}_{yx}(\bf{r} + \bf{t}) = -\delta^{1}_{yz}(\bf{r} - \bf{s}).$

Теперь нам придется ненадолго отвлечься^{1Позволю себе, правда, усомниться в слове "придется": есть подозрение, что отвлечься читатель сейчас будет уже очень рад} от анализа следствий из условий W-MON и S-MON и доказать небольшое техническое предложение [52], которое нам пригодится на последнем шаге доказательства. Предложение, кстати, само по себе тоже довольно интересное; именно в нем вдруг из каких-то неравенств получается, что функция-то на самом деле линейная.

В формулировке предложения "монотонность" означает следующее: функция $g : \mathbb R^n \to \mathbb R$ монотонная, если для любых векторов $\bf{a}, \bf{b} \in \mathbb R^n$ из $\beta_i \ge \alpha_i$ для каждого следует, что $g(\bf{b}) \ge g(\bf{a})$ . Иначе говоря, это монотонность относительно частичного порядка на векторах, который мы тут уже неоднократно вводили и использовали.

Предложение 8.1. Зафиксируем монотонную функцию $g : \mathbb R^n \to \mathbb R$ и предположим, что существуют такие функции $h_i : \mathbb R^n \to \mathbb R,$ что

$g(\bf r + \delta \bf e_i) - g(r) = h_i(\delta)$

для любого $\bf r \in \mathbb R^n$ и любого $\delta > 0$ (где $\bf e_i$ — это единичный вектор вдоль -й оси). Тогда существуют такие константы $k_i \in \mathbb R$ и $\gamma \in \mathbb R,$ что

$g(\bf r) = {\sum_{i=1}^nk_ir_i + \gamma}.$

Доказательство. Доказательство мы для большей наглядности разобьем на две леммы. Первая из них рассматривает одномерный случай.

Лемма 8.12. Предположим, что $m : \mathbb R_+ \to \mathbb R$ — монотонно неубывающая функция, и существует такая функция $h : \mathbb R_+ \to \mathbb R_+,$ что

$m(x + \delta)-m(x) = h(\delta)$

для любых $x,\delta \in \mathbb R_+$ . Тогда существует такое число $w \in \mathbb R_+,$ что $h(\delta) = w \delta$ .

Доказательство. Пусть w = h(1) (заметим, что $w \ge 0,$ поскольку не убывает). Сначала мы докажем, что для любых двух целых чисел и h(p/q) = w (p/q) . Заметим, что

$h(1) = m(1) - m(0) = {\sum_{i=0}^{q-1}m\left(\vphantom{1^2}(i + 1)/q\right)} - m(i/q) = q \cdot h(1/q).$

Таким образом, $h(1/q) = (1/q) \cdot h(1)$ . Аналогично,

$h(p/q) = m(p/q)-m(0)= {\sum_{i=0}^{p-1}m\left(\vphantom{1^2}(i + 1)/q\right)} - m(i/q) = \\ = p \cdot (1/q) = (p/q) \cdot h(1) = (p/q) \cdot w.$

Теперь стандартным образом перейдем по полноте от рациональных чисел к вещественным: докажем, что для любого вещественного $\delta$ $h(\delta) = \delta w$ . Заметим, что так как монотонно не убывает, тоже должна быть монотонно неубывающей. Предположим от противного, что $h(\delta) > w \delta$ . Возьмем некоторое рациональное число $r > \delta,$ достаточно близкое к $\delta,$ так, что $h(\delta) > wr > w\delta$ . Так как монотонна, и $r > \delta,$ то $h(r) \ge h(\delta)$ . Но так как рациональное, $h(r) = wr < h(\delta),$ что приводит нас к противоречию. Доказательство совершенно аналогично и при $h(\delta) < w \delta$ .

Лемма 8.13. Рассмотрим подмножество $X \subseteq \mathbb R^n,$ обладающее следующим свойством: если $\bf x \in X$ и $\bf y \ge x,$ то $\bf y \in X$ . Рассмотрим монотонно неубывающую функцию $m: X \to \mathbb{R}$ и предположим, что существуют такие числа $w_1,\ldots,w_n\in\mathbb R,$ что

$m(\bf{x} + \delta \bf{e}_i) - m(x) = w_i \delta$

для любого любого $\bf{x} \in X$ и любого $\delta > 0$ . Тогда существует такая константа $\gamma \in \mathbb{R},$ что

$m(\bf x) = {\sum\limits_{i=1}^{n}w_i\cdot x_i} + \gamma.$

Доказательство. Сначала мы докажем, что для любых таких $\bf{x},\bf y \in X,$ что $y_i \ge x_i$ для всех в этом случае

$m(\bf y) = m(\bf x) + {\sum\limits_{i=1}^{n}w_i\cdot (y_i - x_i)}.$

Заметим, что $(y_1, x_2, \ldots, x_n) \in X$ и

$m(y_1, x_2, \ldots, x_n) = m(\bf x) + h_1(y_1 - x_1).$

Повторяя этот шаг раз, мы получаем, что

$m(\bf y) = m(\bf x) + {\sum\limits_{i=1}^{n}w_i\cdot (y_i - x_i)}.$

Теперь зафиксируем любой $\bf x^* \in X$ . Докажем, что для любого $\bf x \in X$

$m(\bf x) = m(\bf x^*) + \sum\limits_{i=1}^{n}w_i \left(x_i - x^*_i\right).$

Выберем такой вектор $\bf y,$ что $y_i \ge \max \{ x_i, x^*_i\}$ для всех . Таким образом,

$m(\bf y) = m(\bf x) + {\sum\limits_{i=1}^{n}w_i(y_i - x_i)},$

а также

$m(\bf y) = m(\bf x^*) + \sum\limits_{i=1}^{n}w_i \left(y_i - x^*_i\right),$

из чего немедленно следует доказываемое утверждение.

Эти две леммы и составляют доказательство предложения 8.1.

Теперь вернемся к доказательству теоремы Робертса. Нам осталось уже буквально одно последнее усилие.

Лемма 8.14. Существуют такие неотрицательные вещественные константы $k_2,\ldots,k_n,$ что для каждого $\bf r \in \mathbb R^{n-1}$ и для любых исходов $y,z \in \mathcal O$

$\delta^{1}_{yz}(\bf r) = -{\sum_{j=2}^nk_jr_j + \delta^{1}_{yz}(\bf 0)}.$

Доказательство. Прежде всего заметим, что $\delta^{1}_{yz}(\cdot)$ — это монотонно невозрастающая вещественная функция. Если $f(v_1, \bf v_{-1}) = y,$ то тогда $f(v_1, \bf v_{-1} + \epsilon \bf 1_{j,y}) = y$ по S-MON. Тогда инфимум на $\bf v_{-1} + \epsilon \cdot 1_{j,y}$ получается на большем множестве, и, следовательно, он меньше. Значит, $\delta^{1}_{yz}(\cdot)$ невозрастает.

По лемме 8.11 и предложению 8.1 получаем, что существуют такие вещественные константы $k^{yz}_j,$ что

$\delta^{1}_{yz}(\bf{r}) = {\sum^n_{j=2}k^{yz}_jr_j + \delta^{1}_{yz}(\bf{0})}.$

Поскольку $\delta^{1}_{yz}(\cdot)$ является монотонно невозрастающей функцией, все $k^{yz}_j$ должны быть неположительными. Перепишем для удобства это равенство как

$\delta^{1}_{yz}(\bf{r}) = -{\sum^n_{j= 2}k^{yz}_jr_j + \delta^{1}_{yz}(\bf{0})},$

и будем отныне считать, что константы $k^{yz}_j$ неотрицательны.

Нам осталось показать, что $k^{xy}_j = k^{wz}_j$ для любых $x,y,z,w \in\mathcal O$ . Выше мы получили, что $k^{xy}_j = \delta^{1}_{xy}(\bf{0}) - \delta^{1}_{xy}(\bf e_j)$ . По следствию 8.2.1 мы получаем $k^{xy_j = k^{zx}_j,$ потому что $\delta^{1}_{xy}(\bf e_j) + \delta^{1}_{yz}(\bf{0}) + \delta^{1}_{xy}(-\bf e_j) = 0$ . Аналогично, $k^{zx}_j = k^{wz}_j$ .

Теперь мы легко можем завершить доказательство теоремы. Зафиксируем произвольную альтернативу $w \in \mathcal O$ и зададим константы $C_x = \delta^{1}_{wx}(\bf{0})$ для всех $x \neq w,$ а C_w положим равной нулю. Зафиксируем $\mathbf v \in V$ и предположим, что $f(\mathbf v) = x$ . Следовательно, для любого другого исхода $y \ne x$

$v_1(x) - v_1(y) \ge \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) = -{\sum_{j\ne 1}k_j\left(\vphantom{1^2}v_j(x) - v_j(y)\right)+ \delta^{1}_{xy}(\bf{0})}.$

Так как $\delta^{1}_{xy}(\bf{0}) = \delta^{1}_{xw}(\bf{0}) + \delta^{1}_{wy}(\bf{0})$ и $\delta^{1}_{xw}(\bf{0}) = - \delta^{1}_{wx}(\bf{0}),$ мы, переставляя элементы, получаем, что