Опубликован: 05.08.2011 | Уровень: профессионал | Доступ: платный
Лекция 8:

Теорема Робертса

< Лекция 7 || Лекция 8: 12345 || Лекция 9 >

Следующая лемма показывает, что значение \delta^{1}_{xy}(\bvn i) зависит только от

\bf v_{-1}(x)-\bf v_{-1}(y),

то есть от (n-1) -мерного вектора разностей оценок всех агентов, кроме первого. Вспомним введенные ранее обозначения: (\mathbf v - \epsilon \cdot  1_{j,z}) означает оценку \mathbf v, в которой агент j уменьшил значение своей функции для альтернативы z на \epsilon.

Лемма 8.10.

  1. Для каждого L \ge 0, j \ne 1, \bf v_{-1} \in \bf V_{-1} и всякой тройки различных исходов x, y, z \in\mathcal O

    \delta^{1}_{xy}(\mathbf v_{-i}) = \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1} - L \cdot 1_{j,z}).

  2. Пусть x, y \in\mathcal O, и пусть для некоторых векторов \bvn 1 и \bf v_{-1}^\prime верно, что

    \bvn 1(x)-\bvn 1(y) = \bf v_{-1}^\prime(x) - \bf v_{-1}^\prime(y).

    Тогда \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) = \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}^\prime).

Доказательство.

  1. Возьмем \bf v_{-1}^\prime = \bf v_{-1} - L \cdot 1_{j,z}. Если f(v_1, \bf v_{-1}) = x, то по S-MON f(v_1, \bf v_{-1}^\prime) = x, и, следовательно,

    \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) \ge \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}^\prime).

    Предположим противное: пусть равенство неверно, а, значит,

    \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) > \delta^{1}_{xy}(\bvn 1^\prime).

    Сперва заметим, что, как и в предыдущих доказательствах,

    \delta^{1}_{yx}(\bf v_{-1}) \ge \delta^{1}_{yx}(\bf v_{-1}^\prime)

    Но

    \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{yx}(\bf v_{-1}) = 0 = \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}^\prime) + \delta^{1}_{yx}(\bf v_{-1}^\prime).

    Но мы предполагали, что левая часть этого равенства больше, чем правая; таким образом, мы пришли к противоречию.

  2. Зафиксируем произвольные векторы \bf v_{-1}, \bf v_{-1}^\prime \in \bf V_{-1},

    для которых

    \bvn 1(x) - \bvn 1(y) = \bf v_{-1}^\prime(x) - \bf v_{-1}^\prime(y).

    Для каждого j \neq 1 и для каждого v_j \in V_j условие S-MON подразумевает, что добавление аддитивной константы ко всем координатам v_j не изменит выбора f. Таким образом, мы можем без потери общности предположить, что v_j(x) = v^\prime_j(x) и v_j(y) = v^\prime_j(y). Теперь определим

    v^{\prime\prime}_j(w) = \min \left\{\vphantom{1^2} v_j(w), v^\prime_j(w)\right\}

    для каждого w \in \mathcal O. Тогда первый пункт этой леммы позволяет сделать вывод о том, что

    \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) = \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}^\prime) = 
\delta^{1}_{xy}(v^{\prime\prime}_{-1}).

    Вот и все, лемма доказана.

Итак, мы доказали, что \delta^{1}_{xy}(\mathbf v_{-i}) зависит только от \bvn 1(x)-\bvn 1(y). Таким образом, отныне мы можем рассматривать \delta^{1}_{xy}(\bvn i) как функцию \delta^{1}_{xy}(\bvn 1(x)-\bvn 1(y)). В этих (слегка измененных) обозначениях можно сформулировать следующее следствие.

Следствие 8.2.1. Для любой пары векторов \bf{r}, \bf{t} \in \mathbb R^{n-1} и любой тройки исходов x,y,z \in \mathcal O верно, что

\delta^{1}_{xy}(\bf{r}) + \delta^{1}_{yx}(-\bf{r}) &=& 0,\\ \delta^{1}_{xy}(\bf{r}) + \delta^{1}_{yz}(\bf{t}) + \delta^{1}_{zx}(-\bf{r}- \bf{t}) &=& 0.

В частности,

\delta^{1}_{xy}(\bf{0}) + \delta^{1}_{yx}(\bf{0}) = 0\text{ и } \delta^{1}_{xy}(\bf{0}) + \delta^{1}_{yz}(\bf{0}) + \delta^{1}_{zx}(\bf{0})= 0.

Лемма 8.11. Для каждого \bf{r}, \bf{s}, \bf{t} \in \mathbb R^{n-1} и для любой тройки исходов x,y,z \in \mathcal O

\delta^{1}_{yx}(\bf{r} + \bf{t}) - \delta^{1}_{yx}(\bf{r}) = \delta^{1}_{zx}(\bf{s} + \bf{t}) - \delta^{1}_{zx}(\bf{s}).

Доказательство. Достаточно показать, что

\delta^{1}_{zx}(\bf{s}) - \delta^{1}_{yx}(\bf{r}) = \delta^{1}_{zx}(\bf{s} + \bf{t}) - \delta^{1}_{yx}(\bf{r} + \bf{t}).

По следствию 8.2.1,

\delta^{1}_{zx}(\bf{s}) - \delta^{1}_{yx}(\bf{r}) = \delta^{1}_{zx}(\bf{s}) + \delta^{1}_{xy}(-\bf{r}) = -\delta^{1}_{yz}(\bf{r}-\bf{s}).

Аналогично,

\delta^{1}_{zx}(\bf{s} + \bf{t}) - \delta^{1}_{yx}(\bf{r} + \bf{t}) = -\delta^{1}_{yz}(\bf{r} - \bf{s}).

Теперь нам придется ненадолго отвлечься1Позволю себе, правда, усомниться в слове "придется": есть подозрение, что отвлечься читатель сейчас будет уже очень рад от анализа следствий из условий W-MON и S-MON и доказать небольшое техническое предложение [52], которое нам пригодится на последнем шаге доказательства. Предложение, кстати, само по себе тоже довольно интересное; именно в нем вдруг из каких-то неравенств получается, что функция-то на самом деле линейная.

В формулировке предложения "монотонность" означает следующее: функция g : \mathbb R^n \to \mathbb R монотонная, если для любых векторов \bf{a}, \bf{b} \in \mathbb R^n из \beta_i \ge \alpha_i для каждого i следует, что g(\bf{b}) \ge g(\bf{a}). Иначе говоря, это монотонность относительно частичного порядка на векторах, который мы тут уже неоднократно вводили и использовали.

Предложение 8.1. Зафиксируем монотонную функцию g : \mathbb R^n \to \mathbb R и предположим, что существуют такие функции h_i : \mathbb R^n \to \mathbb R, что

g(\bf r + \delta \bf e_i) - g(r) = h_i(\delta)

для любого \bf r \in \mathbb R^n и любого \delta > 0 (где \bf e_i — это единичный вектор вдоль i -й оси). Тогда существуют такие константы k_i \in \mathbb R и \gamma \in \mathbb R, что

g(\bf r) = {\sum_{i=1}^nk_ir_i + \gamma}.

Доказательство. Доказательство мы для большей наглядности разобьем на две леммы. Первая из них рассматривает одномерный случай.

Лемма 8.12. Предположим, что m : \mathbb R_+ \to \mathbb R — монотонно неубывающая функция, и существует такая функция h : \mathbb R_+ \to \mathbb R_+, что

m(x + \delta)-m(x) = h(\delta)

для любых x,\delta \in \mathbb R_+. Тогда существует такое число w \in \mathbb R_+, что h(\delta) = w \delta.

Доказательство. Пусть w = h(1) (заметим, что w \ge 0, поскольку m не убывает). Сначала мы докажем, что для любых двух целых чисел p и q h(p/q) = w (p/q). Заметим, что

h(1) = m(1) - m(0) = {\sum_{i=0}^{q-1}m\left(\vphantom{1^2}(i + 1)/q\right)} - m(i/q) = q \cdot h(1/q).

Таким образом, h(1/q) = (1/q) \cdot h(1). Аналогично,

h(p/q) = m(p/q)-m(0)= {\sum_{i=0}^{p-1}m\left(\vphantom{1^2}(i + 1)/q\right)} - m(i/q) = \\ = p \cdot (1/q) = (p/q) \cdot h(1) = (p/q) \cdot w.

Теперь стандартным образом перейдем по полноте от рациональных чисел к вещественным: докажем, что для любого вещественного \delta h(\delta) = \delta w. Заметим, что так как m монотонно не убывает, h тоже должна быть монотонно неубывающей. Предположим от противного, что h(\delta) > w \delta. Возьмем некоторое рациональное число r > \delta, достаточно близкое к \delta, так, что h(\delta) > wr > w\delta. Так как h монотонна, и r > \delta, то h(r) \ge h(\delta). Но так как r рациональное, h(r) = wr < h(\delta), что приводит нас к противоречию. Доказательство совершенно аналогично и при h(\delta) < w \delta.

Лемма 8.13. Рассмотрим подмножество X \subseteq \mathbb R^n, обладающее следующим свойством: если \bf x \in X и \bf y \ge x, то \bf y \in X. Рассмотрим монотонно неубывающую функцию m: X \to \mathbb{R} и предположим, что существуют такие числа w_1,\ldots,w_n\in\mathbb R, что

m(\bf{x} + \delta \bf{e}_i) - m(x) = w_i \delta

для любого i, любого \bf{x} \in X и любого \delta > 0. Тогда существует такая константа \gamma \in \mathbb{R}, что

m(\bf x) = {\sum\limits_{i=1}^{n}w_i\cdot x_i} + \gamma.

Доказательство. Сначала мы докажем, что для любых таких \bf{x},\bf y \in X, что y_i \ge x_i для всех i, в этом случае

m(\bf y) = m(\bf x) + {\sum\limits_{i=1}^{n}w_i\cdot (y_i - x_i)}.

Заметим, что (y_1, x_2, \ldots, x_n) \in X и

m(y_1, x_2, \ldots, x_n) = m(\bf x) + h_1(y_1 - x_1).

Повторяя этот шаг n раз, мы получаем, что

m(\bf y) = m(\bf x) + {\sum\limits_{i=1}^{n}w_i\cdot (y_i - x_i)}.

Теперь зафиксируем любой \bf x^* \in X. Докажем, что для любого \bf x \in X

m(\bf x) = m(\bf x^*) + \sum\limits_{i=1}^{n}w_i \left(x_i - x^*_i\right).

Выберем такой вектор \bf y, что y_i \ge \max \{ x_i, x^*_i\} для всех i. Таким образом,

m(\bf y) = m(\bf x) + {\sum\limits_{i=1}^{n}w_i(y_i - x_i)},

а также

m(\bf y) = m(\bf x^*) + \sum\limits_{i=1}^{n}w_i \left(y_i - x^*_i\right),

из чего немедленно следует доказываемое утверждение.

Эти две леммы и составляют доказательство предложения 8.1.

Теперь вернемся к доказательству теоремы Робертса. Нам осталось уже буквально одно последнее усилие.

Лемма 8.14. Существуют такие неотрицательные вещественные константы k_2,\ldots,k_n, что для каждого \bf r \in \mathbb R^{n-1} и для любых исходов y,z \in \mathcal O

\delta^{1}_{yz}(\bf r) = -{\sum_{j=2}^nk_jr_j + \delta^{1}_{yz}(\bf 0)}.

Доказательство. Прежде всего заметим, что \delta^{1}_{yz}(\cdot) — это монотонно невозрастающая вещественная функция. Если f(v_1, \bf v_{-1}) = y, то тогда f(v_1, \bf v_{-1} + \epsilon \bf 1_{j,y}) = y по S-MON. Тогда инфимум на \bf v_{-1} + \epsilon \cdot 1_{j,y} получается на большем множестве, и, следовательно, он меньше. Значит, \delta^{1}_{yz}(\cdot) невозрастает.

По лемме 8.11 и предложению 8.1 получаем, что существуют такие вещественные константы k^{yz}_j, что

\delta^{1}_{yz}(\bf{r}) = {\sum^n_{j=2}k^{yz}_jr_j + \delta^{1}_{yz}(\bf{0})}.

Поскольку \delta^{1}_{yz}(\cdot) является монотонно невозрастающей функцией, все k^{yz}_j должны быть неположительными. Перепишем для удобства это равенство как

\delta^{1}_{yz}(\bf{r}) = -{\sum^n_{j= 2}k^{yz}_jr_j + \delta^{1}_{yz}(\bf{0})},

и будем отныне считать, что константы k^{yz}_j неотрицательны.

Нам осталось показать, что k^{xy}_j = k^{wz}_j для любых x,y,z,w \in\mathcal O. Выше мы получили, что k^{xy}_j = \delta^{1}_{xy}(\bf{0}) - \delta^{1}_{xy}(\bf e_j). По следствию 8.2.1 мы получаем k^{xy_j = k^{zx}_j, потому что \delta^{1}_{xy}(\bf e_j) + \delta^{1}_{yz}(\bf{0}) + \delta^{1}_{xy}(-\bf e_j) = 0. Аналогично, k^{zx}_j = k^{wz}_j.

Теперь мы легко можем завершить доказательство теоремы. Зафиксируем произвольную альтернативу w \in \mathcal O и зададим константы C_x = \delta^{1}_{wx}(\bf{0}) для всех x \neq w, а C_w положим равной нулю. Зафиксируем \mathbf v \in V и предположим, что f(\mathbf v) = x. Следовательно, для любого другого исхода y \ne x

v_1(x) - v_1(y) \ge \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) = -{\sum_{j\ne 1}k_j\left(\vphantom{1^2}v_j(x) - v_j(y)\right)+ \delta^{1}_{xy}(\bf{0})}.

Так как \delta^{1}_{xy}(\bf{0}) = \delta^{1}_{xw}(\bf{0}) + \delta^{1}_{wy}(\bf{0}) и \delta^{1}_{xw}(\bf{0}) = - \delta^{1}_{wx}(\bf{0}), мы, переставляя элементы, получаем, что

v_1(x) + {\sum_{j\ne 1}k_jv_j(x)} + C_x \ge v_1(y) + {\sum_{j\neq1}k_jv_j(y)} + C_y,

что и требовалось доказать.

< Лекция 7 || Лекция 8: 12345 || Лекция 9 >
Елизавета Мишарина
Елизавета Мишарина
Россия, г. Екатеринбург. Онуфриева 50, кв.136
Дмитрий Роор
Дмитрий Роор
Россия, Барнаул