Теорема Робертса
Следующая лемма показывает, что значение зависит только от
![\bf v_{-1}(x)-\bf v_{-1}(y),](/sites/default/files/tex_cache/8cc9f0d61cbb43b5528e685e25ea62c5.png)
то есть от -мерного вектора разностей оценок всех агентов, кроме первого. Вспомним введенные ранее обозначения:
означает оценку
в которой агент
уменьшил значение своей функции для альтернативы
на
.
Лемма 8.10.
- Для каждого
и всякой тройки различных исходов
.
- Пусть
и пусть для некоторых векторов
и
верно, что
Тогда
.
Доказательство.
- Возьмем
. Если
то по S-MON
и, следовательно,
.
Предположим противное: пусть равенство неверно, а, значит,
Сперва заметим, что, как и в предыдущих доказательствах,
Но
.
Но мы предполагали, что левая часть этого равенства больше, чем правая; таким образом, мы пришли к противоречию.
- Зафиксируем произвольные векторы
для которых
Для каждого
и для каждого
условие S-MON подразумевает, что добавление аддитивной константы ко всем координатам
не изменит выбора
. Таким образом, мы можем без потери общности предположить, что
и
. Теперь определим
для каждого
. Тогда первый пункт этой леммы позволяет сделать вывод о том, что
.
Вот и все, лемма доказана.
Итак, мы доказали, что зависит только от
. Таким образом, отныне мы можем рассматривать
как функцию
. В этих (слегка измененных) обозначениях можно сформулировать следующее следствие.
Следствие 8.2.1. Для любой пары векторов и любой тройки исходов
верно, что
![\delta^{1}_{xy}(\bf{r}) + \delta^{1}_{yx}(-\bf{r}) &=& 0,\\ \delta^{1}_{xy}(\bf{r}) + \delta^{1}_{yz}(\bf{t}) + \delta^{1}_{zx}(-\bf{r}- \bf{t}) &=& 0.](/sites/default/files/tex_cache/7d003dfa6ed59b9d0dd6b5fe1e4919fb.png)
В частности,
![\delta^{1}_{xy}(\bf{0}) + \delta^{1}_{yx}(\bf{0}) = 0\text{ и } \delta^{1}_{xy}(\bf{0}) + \delta^{1}_{yz}(\bf{0}) + \delta^{1}_{zx}(\bf{0})= 0.](/sites/default/files/tex_cache/17244f8a617ee3e8f0594fc14724b1eb.png)
Лемма 8.11. Для каждого и для любой тройки исходов
![\delta^{1}_{yx}(\bf{r} + \bf{t}) - \delta^{1}_{yx}(\bf{r}) = \delta^{1}_{zx}(\bf{s} + \bf{t}) - \delta^{1}_{zx}(\bf{s}).](/sites/default/files/tex_cache/0f938dc77a976cf15c3ab6eb7985ea49.png)
Доказательство. Достаточно показать, что
![\delta^{1}_{zx}(\bf{s}) - \delta^{1}_{yx}(\bf{r}) = \delta^{1}_{zx}(\bf{s} + \bf{t}) - \delta^{1}_{yx}(\bf{r} + \bf{t}).](/sites/default/files/tex_cache/1b02e8420fdf2a0e1d0400f93ab32657.png)
![\delta^{1}_{zx}(\bf{s}) - \delta^{1}_{yx}(\bf{r}) = \delta^{1}_{zx}(\bf{s}) + \delta^{1}_{xy}(-\bf{r}) = -\delta^{1}_{yz}(\bf{r}-\bf{s}).](/sites/default/files/tex_cache/06fa315903a809ea099d61e12a3614bc.png)
Аналогично,
![\delta^{1}_{zx}(\bf{s} + \bf{t}) - \delta^{1}_{yx}(\bf{r} + \bf{t}) = -\delta^{1}_{yz}(\bf{r} - \bf{s}).](/sites/default/files/tex_cache/19d1d4ec18d8b1819c3bb9cafae58c37.png)
Теперь нам придется ненадолго отвлечься1Позволю себе, правда, усомниться в слове "придется": есть подозрение, что отвлечься читатель сейчас будет уже очень рад от анализа следствий из условий W-MON и S-MON и доказать небольшое техническое предложение [52], которое нам пригодится на последнем шаге доказательства. Предложение, кстати, само по себе тоже довольно интересное; именно в нем вдруг из каких-то неравенств получается, что функция-то на самом деле линейная.
В формулировке предложения "монотонность" означает следующее: функция монотонная, если для любых векторов
из
для каждого
следует, что
. Иначе говоря, это монотонность относительно частичного порядка на векторах, который мы тут уже неоднократно вводили и использовали.
Предложение 8.1. Зафиксируем монотонную функцию и предположим, что существуют такие функции
что
![g(\bf r + \delta \bf e_i) - g(r) = h_i(\delta)](/sites/default/files/tex_cache/628c2394d049d09fefccfc2cf1ebb9c6.png)
для любого и любого
(где
— это единичный вектор вдоль
-й оси). Тогда существуют такие константы
и
что
![g(\bf r) = {\sum_{i=1}^nk_ir_i + \gamma}.](/sites/default/files/tex_cache/8e73729a4869fe7f0df5a9e8fb8c9f9d.png)
Доказательство. Доказательство мы для большей наглядности разобьем на две леммы. Первая из них рассматривает одномерный случай.
Лемма 8.12. Предположим, что — монотонно неубывающая функция, и существует такая функция
что
![m(x + \delta)-m(x) = h(\delta)](/sites/default/files/tex_cache/83d1f325fded20e0875c55e58e9924d6.png)
для любых . Тогда существует такое число
что
.
Доказательство. Пусть (заметим, что
поскольку
не убывает). Сначала мы докажем, что для любых двух целых чисел
и
. Заметим, что
![h(1) = m(1) - m(0) = {\sum_{i=0}^{q-1}m\left(\vphantom{1^2}(i + 1)/q\right)} - m(i/q) = q \cdot h(1/q).](/sites/default/files/tex_cache/043a5a12888b336cd2229f86c71db4f0.png)
Таким образом, . Аналогично,
![h(p/q) = m(p/q)-m(0)= {\sum_{i=0}^{p-1}m\left(\vphantom{1^2}(i + 1)/q\right)} - m(i/q) = \\ = p \cdot (1/q) = (p/q) \cdot h(1) = (p/q) \cdot w.](/sites/default/files/tex_cache/8d965ee618ad9808465e2c76ea79222b.png)
Теперь стандартным образом перейдем по полноте от рациональных чисел к вещественным: докажем, что для любого вещественного
. Заметим, что так как
монотонно не убывает,
тоже должна быть монотонно неубывающей. Предположим от противного, что
. Возьмем некоторое рациональное число
достаточно близкое к
так, что
. Так как
монотонна, и
то
. Но так как
рациональное,
что приводит нас к противоречию. Доказательство совершенно аналогично и при
.
Лемма 8.13. Рассмотрим подмножество обладающее следующим свойством: если
и
то
. Рассмотрим монотонно неубывающую функцию
и предположим, что существуют такие числа
что
![m(\bf{x} + \delta \bf{e}_i) - m(x) = w_i \delta](/sites/default/files/tex_cache/34d1e351b5017bb623de33a733f9ecda.png)
для любого любого
и любого
. Тогда существует такая константа
что
![m(\bf x) = {\sum\limits_{i=1}^{n}w_i\cdot x_i} + \gamma.](/sites/default/files/tex_cache/52d34b03dc7b3f13819212d4fc51c2b3.png)
Доказательство. Сначала мы докажем, что для любых таких что
для всех
в этом случае
![m(\bf y) = m(\bf x) + {\sum\limits_{i=1}^{n}w_i\cdot (y_i - x_i)}.](/sites/default/files/tex_cache/8b7b8b7328fb4cdab533ce5f2dc19335.png)
Заметим, что и
![m(y_1, x_2, \ldots, x_n) = m(\bf x) + h_1(y_1 - x_1).](/sites/default/files/tex_cache/59890c06201be953ea4248737c7c3b0b.png)
Повторяя этот шаг раз, мы получаем, что
![m(\bf y) = m(\bf x) + {\sum\limits_{i=1}^{n}w_i\cdot (y_i - x_i)}.](/sites/default/files/tex_cache/8b7b8b7328fb4cdab533ce5f2dc19335.png)
Теперь зафиксируем любой . Докажем, что для любого
![m(\bf x) = m(\bf x^*) + \sum\limits_{i=1}^{n}w_i \left(x_i - x^*_i\right).](/sites/default/files/tex_cache/ec2fac70f2ce93c62384253a84cd1ce1.png)
Выберем такой вектор что
для всех
. Таким образом,
![m(\bf y) = m(\bf x) + {\sum\limits_{i=1}^{n}w_i(y_i - x_i)},](/sites/default/files/tex_cache/ec4c5c0ef77a327df989472d89aee66d.png)
а также
![m(\bf y) = m(\bf x^*) + \sum\limits_{i=1}^{n}w_i \left(y_i - x^*_i\right),](/sites/default/files/tex_cache/6e37fb630f5f9bb957a3ab3158ba61ae.png)
из чего немедленно следует доказываемое утверждение.
Эти две леммы и составляют доказательство предложения 8.1.
Теперь вернемся к доказательству теоремы Робертса. Нам осталось уже буквально одно последнее усилие.
Лемма 8.14. Существуют такие неотрицательные вещественные константы что для каждого
и для любых исходов
![\delta^{1}_{yz}(\bf r) = -{\sum_{j=2}^nk_jr_j + \delta^{1}_{yz}(\bf 0)}.](/sites/default/files/tex_cache/ad60650346ce4db224f05e7c2150835a.png)
Доказательство. Прежде всего заметим, что — это монотонно невозрастающая вещественная функция. Если
то тогда
по S-MON. Тогда инфимум на
получается на большем множестве, и, следовательно, он меньше. Значит,
невозрастает.
По лемме 8.11 и предложению 8.1 получаем, что существуют такие вещественные константы что
![\delta^{1}_{yz}(\bf{r}) = {\sum^n_{j=2}k^{yz}_jr_j + \delta^{1}_{yz}(\bf{0})}.](/sites/default/files/tex_cache/c437949ce34e164a17e82ea5b540f237.png)
Поскольку является монотонно невозрастающей функцией, все
должны быть неположительными. Перепишем для удобства это равенство как
![\delta^{1}_{yz}(\bf{r}) = -{\sum^n_{j= 2}k^{yz}_jr_j + \delta^{1}_{yz}(\bf{0})},](/sites/default/files/tex_cache/b29a455fb85843879dcd186420edce2a.png)
и будем отныне считать, что константы неотрицательны.
Нам осталось показать, что для любых
. Выше мы получили, что
. По следствию 8.2.1 мы получаем
потому что
. Аналогично,
.
Теперь мы легко можем завершить доказательство теоремы. Зафиксируем произвольную альтернативу и зададим константы
для всех
а
положим равной нулю. Зафиксируем
и предположим, что
. Следовательно, для любого другого исхода
![v_1(x) - v_1(y) \ge \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) = -{\sum_{j\ne 1}k_j\left(\vphantom{1^2}v_j(x) - v_j(y)\right)+ \delta^{1}_{xy}(\bf{0})}.](/sites/default/files/tex_cache/2c0d4799c4ea9b5935c2741d7886b5bd.png)
Так как и
мы, переставляя элементы, получаем, что
![v_1(x) + {\sum_{j\ne 1}k_jv_j(x)} + C_x \ge v_1(y) + {\sum_{j\neq1}k_jv_j(y)} + C_y,](/sites/default/files/tex_cache/da3c54a28fb4dcf76440cd41f9e3f336.png)
что и требовалось доказать.