Теорема Робертса
Первое доказательство
Чтобы показать, что функция — это аффинный максимизатор, на самом деле нужно изучать разности. Это потому, что аффинная максимизация на самом деле эквивалентна системе неравенств
![\sum\limits_{i=1}^N k_i\left(\vphantom{1^2}v_i(x) - v_i(y)\right) \ge C_y - C_x,](/sites/default/files/tex_cache/52f723ddab6d7cc8c3d2632cb3bd9bcb.png)
где (рекомендуем читателю не лениться и проверить эту эквивалентность). Мы будем изучать структуру этих самых разностей.
Главное множество, которое мы будем изучать, — это
![P(x,y) = \left\{\vphantom{1^2}\alpha\in\mathbb R^N\mid \exists \mathbf v: \mathbf v(x) - \mathbf v(y) = \alpha, f(\mathbf v) = x\right\}.](/sites/default/files/tex_cache/2019e2ce0fce0cb9b89f1bbe96dac406.png)
Проще говоря, если то
.
В течение доказательства мы увидим, какова структура множеств и в конце концов покажем, что
— это полупространство. В частности, мы сделаем два важных замечания о структуре
. Во-первых,
![]() |
( 8.1) |
причем внутренности и
не пересекаются.
А во-вторых, для внутренних точек упомянутых множеств
![]() |
( 8.2) |
Для чего нужны эти свойства? Предположим, что для всех
(на самом деле это не обязательно так, и нам позже придется сместить множества
). Тогда по второму условию все
равны. Введем новое обозначение – пусть они равны
. По первому условию
: если
то
. Также из первого условия следует, что
— выпуклое множество: если
то
и тогда, используя второе условие, получаем, что
а значит,
. Противоречие.
Таким образом, и
покрывают все пространство, выпуклы, и их внутренности не пересекаются. Это в точности означает, что они являются подпространствами.
Теперь, объяснив идею будущего доказательства, перейдем к нему самому. Начнем с простейших свойств . Так как
— сюръекция, то
непусто для любых
и
. Также,
![]() |
( 8.3) |
Чтобы это доказать, рассмотрим :
и
. Увеличим
на
(мы можем это сделать, так как множества типов
у нас неограниченные), и получится, что
тоже будет лежать в
.
Следующая лемма докажет нам свойство 8.1 для внутренних точек множества .
Лемма 8.4. Рассмотрим произвольные векторы . Тогда
![\begin{array}{rlcl} \text{если }&\alpha-\epsilon\in P(x,y), & \text{ то } &-\alpha\notin P(y,x),\\ \text{а если }&\alpha\notin P(x,y), & \text{ то } &-\alpha\in P(y,x). \end{array}](/sites/default/files/tex_cache/1cd775d4c5df28b6a5adefb35b59e380.png)
Доказательство. Сначала докажем первую часть леммы. Предположим противное: пусть, наоборот, . Тогда существует такой вектор типов
что
![\mathbf v(y) - \mathbf v(x) = -\alpha,\text{ и }f(\mathbf v) = y.](/sites/default/files/tex_cache/0fddf368f8f138956ae705431875eb63.png)
Но так как то, значит, существует такой вектор типов
что
и
. Тогда верно, что
![\mathbf v(x)-\mathbf v(y) = \alpha > \mathbf v^\prime(x) - \mathbf v^\prime(y) = \alpha-\epsilon,](/sites/default/files/tex_cache/98ea8b5a8a4946210c38713b5bfac2a5.png)
а это противоречит лемме 8.3. Вторая часть леммы доказывается абсолютно аналогично — ее мы оставим читателю.
Пока что мы доказали, что внутренние области и
не пересекаются, и объединение
и
составляет все пространство.
Отметим еще, что из свойства 8.3 следует, что граница у монотонно невозрастающая. Действительно, если граница будет возрастающей, то тогда мы сможем прибавить
к
и попасть вне
.
Осталось только показать, что границы являются гиперплоскостями, и тогда мы докажем все необходимые свойства . Также стоит показать, что
.
Следующая лемма — это доказательство свойства 8.2. В ней понятие "внутренней точки" приобретает исконный смысл, по определению: если — внутренняя точка, то, значит, для всех достаточно коротких векторов
верно, что
.
Лемма 8.5. Рассмотрим некоторые векторы и некоторые векторы
такие, что
. Тогда, если
![\alpha-\epsilon^\alpha\in P(x,y)\text{ и }\beta - \epsilon^\beta\in P(y, z),](/sites/default/files/tex_cache/c8272428ca5e092bc4bf492af4ab437d.png)
то
![\alpha+\beta-\frac{\epsilon^\alpha + \epsilon^\beta}2\in P(x,z).](/sites/default/files/tex_cache/9c2a22e1b52695a72d6396f21d91c4b5.png)
Доказательство. Выберем исход (обратите внимание — мы по делу пользуемся тем, что
!) и векторы
. Также выберем такой вектор типов
что
![\mathbf v(x)-\mathbf v(y) = \alpha - \frac{\epsilon^\alpha}2,\quad \mathbf v(y)-\mathbf v(z) = \beta - \frac{\epsilon^\beta}2,\quad \mathbf v(x)-\mathbf v(w) = \delta^w+\epsilon.](/sites/default/files/tex_cache/0f1e0ce316a1676e3c4062d0d409040e.png)
Значит, они лежат в соответствующих множествах:
![\mathbf v(x)-\mathbf v(y)\in P(x,y),\quad \mathbf v(y)-\mathbf v(z)\in P(y,z),\quad \mathbf v(x)-\mathbf v(w)\in P(x,w).](/sites/default/files/tex_cache/5e45f20ce6da6883e3e363090a437a40.png)
Тогда, по лемме 8.3, и, следовательно,
![\alpha+\beta - \frac{\epsilon^\alpha + \epsilon^\beta}2 = \mathbf v(x) - \mathbf v(z),](/sites/default/files/tex_cache/a903c06128a0979c5e1db89b61d56ffd.png)
а несомненно, лежит в
.
Вернемся к доказательству теоремы. Если бы было верно, что то мы бы уже доказали всю теорему, так как лемма 8.5, примененная к
доказывала бы, что внутренности всех
равны. Мы бы доказали, что
прибавляя к какому-нибудь
нулевые векторы. Но нулевой вектор в
лежать, конечно, не обязан.
Чтобы обойти эту досадную трудность, давайте возьмем каждое множество и сдвинем его на
![\gamma(x,y) = \inf\{p\in\mathbb R\mid p\cdot 1\in P(x,y)\},](/sites/default/files/tex_cache/f843a1019c5fc490ba40dd035f23ff28.png)
где — вектор из всех единиц. Число
— это нижняя граница множества тех чисел, для которых гиперплоскость
начинает пересекаться с
. То есть рассмотрим множество
подопрем его гиперплоскостью и начнем эту гиперплоскость понемногу опускать. Когда она наконец-то коснется
ее коэффициент будет равен
.