Теоремы Эрроу и Гиббарда-Саттертуэйта

Голосования и наши главные цели

На самом деле, конечно, это частный, но вместе с тем одновременно и наиболее общий случай тех самых задач, которые мы решаем в этом курсе. Голосование — очень простой и естественный частный случай экономического механизма. У голосования есть множество возможных исходов, из которых участники должны выбрать; например, это кандидаты , и , из которых один должен стать президентом. У каждого участника голосования (агента) есть определенный порядок на этих исходах (нам будет достаточно случая, когда этот порядок линейный, то есть каждый исход сравним с каждым), который отражает его предпочтения. Например, кандидат мне нравится больше, чем , а — больше, чем ; мы это будем обозначать через . Этот порядок можно рассматривать как скрытую функцию предпочтений агента. И, наконец, есть некоторая функция социального выбора, которая определяет, какой кандидат должен бы победить при том или ином соотношении голосов.

Заметим, что этот частный случай вместе с тем оказывается и наиболее общим. Мы не предполагаем вообще никаких ограничений, никакой структуры на множестве предпочтений каждого из агентов; любой исход может оказаться на любом месте в его внутренней функции предпочтения. Поэтому результаты о невозможности, которые мы получим в этой лекции, окажутся весьма полезными в доказательстве результатов о невозможности в теории экономических механизмов, которыми мы будем заниматься в течение следующих трех лекций. Основным результатом станет теорема Эрроу, которая была доказана Кеннетом Эрроу в 1963 году [3].

Однако прежде всего нужно понять, что бы мы хотели получить от системы голосования. Каковы цели, которых мы будем (безуспешно) пытаться достигнуть?

Для этого рассмотрим достаточно простой и понятный случай голосования: случай, когда в нем участвует ровно один агент. Какими самыми базовыми, самыми естественными свойствами будет обладать множество предпочтений одного агента? Давайте сформулируем три основных свойства, три в высшей степени естественных предположения.

1. Транзитивность. Это совершенно естественное свойство порядка: если и , то . В примере, который приводился выше, мы даже не говорили отдельно, что в приведенной там ситуации кандидат нравится мне больше, чем : это было понятно по транзитивности.
2. Попарная независимость предпочтений. Это свойство утверждает, что мой выбор между и зависит только от того, как соотносятся друг с другом и в моем "персональном рейтинге", и никак не зависит от положения там других альтернатив . Довольно естественно, правда ведь: если вам предлагают выбор между персиком и апельсином, ваши предпочтения насчет яблок не должны на этот выбор повлиять^{1А сам выбор, милые девушки, желательно делать быстро и однозначно... ну, вы поняли, о чем я.}.
3. Положительная ассоциированность. Это значит, что если мои предпочтения изменились к лучшему для какой-либо альтернативы, то в результате голосования шансы этой альтернативы на победу могут только возрасти. Грубо говоря, если у меня раньше был профиль предпочтений , а сейчас , то шансы в любом голосовании, даже против , не должны от этого ухудшиться.

Наконец, четвертое свойство является по сути свойством функции социального выбора, а не свойством одного-единственного агента, как первые три. Мы его уже рассматривали в предыдущих лекциях.

• 4 Единогласие. Если все участники голосования предпочитают возможный исход другому возможному исходу , то в результате голосования не может быть выбран . Это свойство нам хорошо знакомо; в более общем экономическом контексте оно называется оптимальностью по Парето (вспомните и проверьте, что это действительно она!).

Согласитесь, все эти свойства звучат абсолютно естественно, правда? Было бы очень странно, если бы система голосования не удовлетворяла этим свойствам. Один пример хорошей системы мы уже привели: система, в которой ровно один агент, удовлетворяет всем четырем свойствам.

Можно провести и менее тривиальный пример. Предположим, что возможных исходов всего два, то есть голосование превратилось в референдум. Тогда можно предложить простейшую систему голосования: выбирать нужную альтернативу большинством голосов. Рекомендуем читателю проверить, что выбор простым большинством из двух исходов удовлетворяет всем четырем интересующим нас свойствам.

Однако оказывается, что для трех и более возможных исходов голосования такую систему построить непросто. Подходящих механизмов голосования мало, и вряд ли существующие механизмы смогут удовлетворить поборников демократической процедуры, потому что непременно окажутся диктаторскими: результат голосования будет просто совпадать с предпочтениями какого-то одного его участника. Это и будет теорема Эрроу.

Но начнем мы с того, что продемонстрируем, почему естественные системы голосований оказываются беспомощными перед столь простыми условиями. Наше изложение будет в основном следовать [75].

Парадоксы голосований

В этом параграфе мы будем приводить примеры разного рода странных конструкций, которые, философски говоря, доказывают одну простую вещь: на свете не существует рационального "общего мнения группы людей". Есть мнение каждого конкретного человека. Но общее мнение, если пытаться его как-то более или менее "равномерно" вычислять из множества мнений членов интересующей нас группы, вообще никакими разумными свойствами обладать не будет. Формализуем мы это в теореме Эрроу, а в этом параграфе дадим важную интуицию.

Первый пример восходит аж к XVIII веку. В году маркиз де Кондорсе придумал конструкцию парадокса, который под его именем вошел в политическую и экономическую теорию. Идея парадокса Кондорсе проста: рассмотрим три возможных исхода , и и трех участников , и . Предположим, что их предпочтения распределены так:

Иначе говоря, предпочтения трех участников получаются циклическим сдвигом одного линейного порядка.

Что будет происходить при голосованиях? Если на выбор предложат и , то и проголосуют за , и будет избран : . Если референдум пройдет между и , то победа альтернативы будет обеспечена голосованием агентов и : . Но если предложат выбор между и , то и проголосуют за , и окажется, что ! В парадоксе Кондорсе нарушается транзитивность "мнения большинства".

Давайте посмотрим на это с точки зрения дизайна механизмов. Как построить механизм голосования, который примет верное решение? Да и что вообще такое в данном случае "верное решение"? Вполне естественным может показаться механизм, который последовательно осуществляет референдумы, голосования с двумя исходами, до тех пор, пока (в предположении транзитивности, разумеется) не получит достаточно информации для выбора оптимального исхода. На парадоксе Кондорсе такой алгоритм может работать бесконечно (или выдавать ошибку): сколько ни ходи по кругу, единого оптимального выбора не сделаешь.

Но этим дело не ограничивается. Здесь пока кажется, что вообще все равно, какой выбор делать: все три варианта абсолютно симметричны, так что какая разница функции социального выбора, какой из них предпочесть. Давайте рассмотрим небольшую модификацию парадокса Кондорсе, на которой результаты алгоритма попарного голосования окажутся еще интереснее. Для примера нам потребуются аж семь альтернатив, поэтому давайте назовем их как-нибудь поинтереснее, не просто буквами латинского алфавита.

Пример 6.1. Семеро великих вождей собираются в поход на семивратные Фивы. Собираются в поход двое изгнанников — Тидей и Полиник, собирается царь Адраст, двое аргивских вождей — Капаней и Гиппомедонт, ясновидец Амфиарай и аркадец Парфенопей^{2Мы бы с удовольствием рассказали эту историю поподробнее, но как-то совсем уж тут не место... в общем, рекомендуем прочесть "Семеро против Фив" Эсхила и "Финикиянок" Еврипида — или хотя бы краткое их содержание.}

А в это время на Олимпе Гера, Афина и Артемида решают, кого из семи вождей сделать своим любимцем, кому больше других поспособствовать при осаде Фив. Предпочтения богинь весьма замысловаты. Вот они (в таблице сверху вниз степень предпочтения убывает).

В лучших традициях древнегреческой демократии богини согласились решить дело голосованием. Они начали устанавливать общий порядок поочередными голосованиями. И вот что у них получилось...

1. Тидей против Гиппомедонта: Гера в меньшинстве, Гиппомедонт идет дальше.
2. Гиппомедонт против Капанея: Гера и Афина проводят дальше Капанея.
3. Капаней против Полиника: Полиник побеждает и проходит в следующий бой.
4. Полиник против Парфенопея: несмотря на то, что Гере Парфенопей ну совсем не мил, он побеждает.
5. Парфенопей против Амфиарая: выигрывает Амфиарай.
6. Амфиарай против Адраста: Адраст побеждает, Афина в меньшинстве.

В результате не просто Афина оказалась в меньшинстве в последнем голосовании, а как будто мудрость в этом голосовании и вовсе не ночевала. Богини медленно, но верно спускались вниз по таблице, хотя на каждом шаге делали выбор большинством (можно сказать, конституционным большинством — две трети набиралось). В результате победил царь Адраст, хотя в изначальных предпочтениях и Тидей, и Полиник, и Капаней, и Гиппомедонт у всех трех богинь стояли выше Адраста.

Таким образом, в этом примере голосование привело к тому, что нарушился принцип единогласия; вполне честным и естественным протоколом мы выбрали вариант, не оптимальный по Парето (причем ну совсем далеко не оптимальный).

Конец примера 6.1.

Но и на этом интересные следствия парадокса Кондорсе не заканчиваются. Давайте подумаем: какие вообще были варианты у наших голосований? Предположим, что мы хотим пока ограничиться выбором между двумя альтернативами. Таким образом, голосование получается двухступенчатым: сначала две альтернативы сражаются друг с другом, потом победитель с третьей. Рассмотрим возможные варианты для классического парадокса Кондорсе (см. рис. 6.1).

Рис. 6.1. Парадокс Кондорсе: как результат зависит от порядка

1. побеждает , затем побеждает . Выигрывает (рис. 6.1а).
2. побеждает , затем побеждает . Выигрывает (рис. 6.1б).
3. побеждает , затем побеждает . Выигрывает (рис. 6.1в).

Получается, что результат при одних и тех же предпочтениях кардинально зависит от формата голосования! А значит, тот, кто контролирует формат голосования (а в реальных ситуациях его обычно кто-то контролирует), имеет существенное преимущество и может победить, даже оказавшись в меньшинстве.

Более того, эта зависимость от формата приводит к тому, что попарная независимость предпочтений в этом случае тоже не выполняется. Давайте рассмотрим простую ситуацию, в которой есть ровно две альтернативы: и , причем большинство хочет выбрать . Тогда простым большинством, конечно, без проблем выберут. Но если у меньшинства получится построить такую третью возможность , что при выборах и , то это самое меньшинство сможет, установив правильный порядок выборов (сначала против , затем против победителя), провести , а не .

Пример 6.2. В политике такие ситуации редко, но действительно возникают на практике. Они называются "поправки-убийцы" (killer amendments). Вот любопытный пример из практики [75].

В США сенаторов поначалу выбирали не прямым всенародным голосованием, а законодательными органами соответствующего штата. В том, чтобы ввести голосования на пост сенатора, заключалась 17-я поправка к Конституции США, которая в конце концов все же была принята в 1913. Но на пути к ее принятию был один любопытный случай.

Проблема заключалась в том, что в те годы в США Юг и Север все еще не слишком любили друг друга, и южные сенаторы беспокоились, что если федеральное ("северное") государство возьмет выборы сенаторов под свой контроль, то северяне-республиканцы сделают что-нибудь ужасное, например допустят на выборы чернокожих — и действительно, некоторые республиканцы так и собирались сделать.

Был достигнут компромисс: билль, который вводил прямые выборы сенаторов, но содержал поправки, ограничивающие контроль федерального правительства над выборами в южных штатах. Его поддерживало большинство (это была возможность ), и на прямом голосовании между этим биллем и тем, чтобы вообще не вводить прямые выборы (возможность ), билль бы прошел.

Однако сенатор Сазерленд, лидер меньшинства, которое было против выборов сенаторов как таковых, сумел придумать поправку-убийцу . Таковой стало предложение о прямых выборах сенаторов без каких-либо поправок про южные штаты. Сазерленд устроил дело так, что сначала голосование шло между и . Меньшинство Сазерленда проголосовало за , северяне-республиканцы тоже проголосовали за , и победило . Но на этом дело не закончилось: затем встал выбор между и . Сазерленд внезапно "изменил свою точку зрения" и стал голосовать не за , а за , то есть против выборов совсем. В результате билль сначала выполнил свою функцию и выбил поддерживаемый большинством билль , а затем не прошел на следующих выборах. Получилась ситуация, изображенная на рис. 6.2 сплошными линиями, вместо ситуации, изображенной там же пунктиром.

Рис. 6.2. Поправка сенатора Сазерленда

Конец примера 6.2.

Этот же пример демонстрирует, что правдивости при таких выборах тоже лучше не ждать: меньшинство, стоявшее против выборов вообще, здесь было вынуждено сначала голосовать за них, чтобы затем иметь возможность провалить этот исход на следующих выборах. И он же показывает, что попарная независимость тоже недоступна: ведь по этому свойству выбор между и не должен зависеть от наличия или отсутствия третьей альтернативы .

Но отсутствие попарной независимости, а также еще более интересный эффект, можно проиллюстрировать и более наглядно.

Пример 6.3. В этом примере мы попробуем "повыбирать" президента Российской Федерации. Делать это мы будем так, как это и делается в реальности: в первом туре участвуют все кандидаты, и если никто не набирает больше 50%, то двое лидеров выходят во второй тур. Предположим, что у нас есть три кандидата на высокий пост и 27 избирателей, чьи предпочтения распределены следующим образом. Цифры в таблице показывают, на какое место ставят данного кандидата эти избиратели, а число в первой строке — сколько избирателей так думают.

В первом туре Барсуков наберет 9 голосов, Углеводский — 8, а Гризлев — 10. Однако во втором туре ситуация изменится, и победит Барсуков, набрав 15 голосов против 12 у Гризлева. Пока все нормально.

Предположим, однако, что Барсуков, пытаясь победить Гризлева в первом туре, сумел воздействовать на сердца некоторых избирателей, и они изменили свои предпочтения между Гризлевым и Барсуковым в пользу последнего: трое из четырех с распределением переместили Барсукова на первое место, а двое с распределением изменили его на . Итого получается следующая таблица:

Согласитесь, что все это, казалось бы, может быть только в пользу Барсукова. Но... В первом туре Барсуков действительно выигрывает с большим отрывом, получив 12 голосов. Однако во второй тур теперь выходит не Гризлев, а Углеводский, который в итоге побеждает Барсукова с счетом .

Иначе говоря, Барсуков сделал распределение строго лучше для себя, но в итоге сменил победу на поражение. И все это во вполне естественной системе голосования, по которой действительно выбирают президента РФ... \

Конец примера 6.3.

Итак, мы показали, что если пытаться сформулировать более или менее естественную систему голосования, совершенно ничего не получается, вообще ни одного естественного и крайне желательного свойства. Конечно, это еще не доказательство: возможно, мы просто не смогли придумать правильную систему голосования?

Доказательство будет в следующем параграфе.