Принцип выявления предпочтений

Введение

Наши аукционы будут проходить с закрытыми ставками (еще говорят — в режиме закрытых торгов; так обычно проводят, например, тендеры). Есть независимых агентов, которые хотят купить один объект. Считается, что участники подают заявки "в конвертах" организаторам, которые на основании всех ставок решают, какому агенту отдать этот объект и за какую цену.

Будем считать, что возможная внутренняя стоимость агента определяется случайной величиной . Иначе говоря, агент при многократном повторении аукциона будет иметь внутренние стоимости, подчиняющиеся распределению случайной величины . Предположим также, что одинаково распределены на отрезке , и каждая из них имеет неубывающую функцию распределения . В принципе возможно, что , но в любом случае .

Далее предположим, что агент знает все , и знает свою ставку , которую он поставит. При этом конкретные значения , , которые поставили другие агенты, агент не знает.

Наконец, сделаем еще одно предположение о природе агентов. Будем считать, что все имеют одну и ту же функцию распределения , и все агенты осведомлены о том, что у всех одинаковая функция распределения . Такая модель называется симметричной }.

Модели аукционов: закрытые и открытые ставки

Когда мы говорим "аукцион", первой, конечно, на ум приходит ситуация, в которой участники один за другим поднимают цену, и когда в результате остается только один, который и покупает разыгрываемый лот.

- Сто сорок пять в пятом ряду справа, раз.
Зал потух. Слишком дорого.
- Сто сорок пять, два.
Остап равнодушно рассматривал лепной карниз. Ипполит Матвеевич сидел, 
опустив голову, и вздрагивал.
- Сто сорок пять, три...
Но, прежде чем черный лакированный молоточек ударился о фанерную кафедру, 
Остап повернулся, выбросил вверх руку и негромко сказал:
- Двести!

Примерно так, правда? Такой аукцион называется английским. На самом же деле, конечно, различных моделей аукционов гораздо больше. Например, другая классическая модель — так называемый голландский аукцион. Он получил такое название потому, что именно по этой модели проводятся классические голландские аукционы, на которых продают цветы^{1http://www.floraholland.com/} .. В голландском аукционе аукционер начинает торги с заведомо слишком высокой цены, после чего понижает ее до тех пор, пока не поднимется первая рука (то есть пока первый агент не захочет купить лот по объявленной цене). После этого лот уходит тому, кто захотел его приобрести, и по той цене, которая была объявлена.

И английский и голландский аукционы относятся к аукционам с открытыми ставками. В таких аукционах каждый агент полностью видит процесс торгов, включая ставки других агентов (хотя в голландском аукционе, можно сказать, как раз не видит, а если увидел, значит, торги закончились — но что поделаешь, такой уж аукцион).

Но бывают еще и аукционы с закрытыми ставками. Модель эту лучше всего представить следующим образом: агенты подают аукционеру закрытые конверты, в которых написаны ставки каждого из агентов. Аукционер вскрывает конверты, а потом определяет победителя и цену, которую победитель должен заплатить; именно этими двумя функциями разные аукционы с закрытыми ставками и отличаются друг от друга. Примеров аукционов с закрытыми ставками в реальной жизни тоже много; например, так проводятся тендеры.

Аукционы с закрытыми ставками анализировать с математической точки зрения удобнее — гораздо более четко формулируются базовые понятия: в контексте закрытых ставок это просто две функции: распределение выигрыша и выплаты агентов. Но при этом неплохо бы рассмотреть и аукционы с открытыми ставками. К счастью, легко понять, что аукционы с открытыми ставками (в некоторых предположениях) эквивалентны аукционам с закрытыми ставками.

Рассмотрим аукцион первой цены с закрытыми ставками: агенты подают на бумажках цены, которые они готовы заплатить, аукционер выбирает наибольшую из них и продает подавшему ее агенту лот по этой самой цене. Сравните эту модель с голландским аукционом: аукционер начинает объявлять цены и понижает их до тех пор, пока не найдется первый агент, готовый купить лот по объявленной цене. Если предположить, что у агента есть некоторая внутренняя стоимость, с которой он готов расстаться ради объявленного лота, то агент в голландском аукционе поднимет руку как раз в тот момент, когда цена достигнет этой стоимости. И в аукционе первой цены он напишет ту же самую стоимость. Таким образом, голландский аукцион и аукцион первой цены с закрытыми ставками эквивалентны.

Для английского аукциона тоже можно найти эквивалентный ему аукцион с закрытыми ставками. Правда, для этого придется предположить, что внутренние ценности агентов независимы, ведь в английском аукционе агент слышит ставки других агентов и теоретически мог бы модифицировать свою собственную ставку в зависимости от услышанного. О том, что происходит в таких случаях, мы начнем говорить в лекции "Аукционы с зависимыми ценностями" ; в действительности окажется, что в такой ситуации английский аукцион нужно анализировать по-другому. Но если сделать предположение о независимости внутренних ценностей, то английский аукцион становится эквивалентен аукциону второй цены}с закрытыми ставками. В аукционе второй цены аукционер собирает ставки в конвертах; победителем становится, как и в аукционе первой цены, объявивший максимальную цену, но платит он не то, что объявил, а цену второго сверху участника. Этот аукцион еще называется аукционом Викри; в следующем разделе мы узнаем о нем много интересного. Легко видеть, что эти два аукциона эквивалентны: в английском аукционе победитель определяется в тот момент, когда сдается второй сверху игрок. Соответственно, и платит он не свою внутреннюю ценность, а внутреннюю ценность второго сверху игрока.

О разных моделях аукционов можно подробнее прочитать в [48]; мы же будем в дальнейшем в основном рассматривать аукционы с закрытыми ставками, особенно упирая на аукционы первой и второй цены. Теперь вы знаете, почему они столь важны.