НОУ ИНТУИТ | Теория экономических механизмов. Лекция 8: Теорема Робертса

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 05.08.2011 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 44 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Лемма 8.6. Для всех $x,y,z\in\mathcal O$ :

$\begin{array}{rcl}\gamma(x,y) &=& - \gamma(y,x),\\ \gamma(x,z) &=& \gamma(x,y) + \gamma(y,z).\end{array}$

Доказательство. Доказательство проведем в два этапа. Сначала покажем, что для всякого $\epsilon>0$

$\left(\gamma(x,y) + \frac\epsilon2\right)\cdot\bf 1\in P(x,y).$

Это верно потому, что, начиная с $\gamma(x,y),$ векторы $p\cdot\bf 1$ уже лежат в P(x,y) . Значит, по лемме 8.5,

$(-\gamma(x,y) - \epsilon)\cdot 1\notin P(y,x).$

Но, с другой стороны,

$(\gamma(x,y) - \epsilon)\cdot 1 \notin P(x,y),$

так как $\gamma(x,y)$ не лежит в P(x,y) . Следовательно, наоборот:

$(-\gamma(x,y) + \frac\epsilon2)\cdot 1 \in P(y,x).$

Таким образом, у нас получилось, что для любого $\epsilon$ $(-\gamma(x,y) - \epsilon)\notin P(x,y),$ но при этом

$(-\gamma(x,y) + \epsilon)\in P(x,y).$

Второй этап: поделим $\epsilon$ пополам и рассмотрим векторы

$\left(\gamma(x,y) + \frac\epsilon2\right)\cdot 1 \in P(x,y)\text{ и }\left(\gamma(y,z) + \frac\epsilon2\right)\cdot 1 \in P(y,z).$

Тогда, по лемме 8.5,

$(\gamma(x,y) + \gamma(y,z) + \epsilon)\cdot\bf 1\in P(x,z).$

Только что мы доказали, что

$\gamma(z,x) \le \gamma(z,y) + \gamma(y,x).$

Обратное неравенство легко доказать, если поменять в этом неравенстве буквы и местами:

$\gamma(y,x) \le \gamma(y,z) + \gamma(z,x),$

а затем заменить $\gamma(y,z)$ на $-\gamma(z,y)$ :

$\gamma(y,x) \le -\gamma(z,y) + \gamma(z,x).$

Итого мы получили два противоположных неравенства, то есть доказали искомое равенство $\gamma(x,z) = \gamma(x,y) + \gamma(y,z)$ .

Теперь мы можем сдвинуть множества P(x,y) . Введем новые множества

$C(x,y) = P(x,y) - \gamma(x,y)\cdot 1,$

для того чтобы $\bf 0\in C(x,y)$ . Иначе говоря,

$C(x,y)=\{\alpha -\gamma(x,y)\cdot 1 \ |\ \alpha \in P(x,y)\}.$

Также обозначим через $\dot C$ внутренность ; формально говоря:

$\dot C = \{\alpha \in C \mid \alpha - \epsilon \in C\text{ для любого }\epsilon > 0 \}.$

Лемма 8.7. Внутренности всех совпадают:

$\dot C(x,y) = \dot C(w, z)\text{ для любых }x,y,w,z\in\mathcal O,\ x\neq y,\ w\neq z.$

Доказательство. По второму пункту леммы 8.6,

$\dot P(x,y)\subseteq\dot P(x,z)-\beta$

для любого $\beta\in\dot P(y,z)$ . Также это верно для $\beta = (\gamma(y,z) + \epsilon)\cdot 1$ .

Аналогично,

$\dot P(x,z)\subseteq\dot P(w,z)-\alpha$

для любого $\alpha = (\gamma(w,x) + \epsilon)\cdot 1 ,$ и получается, что

$\dot P(x,y)\subseteq\dot P(w,z)-(\gamma(y,z) + \gamma(w,x))\cdot 1.$

Также по второму пункту леммы 8.6,

$\gamma(y,z) + \gamma(w,x) = \gamma(y,z) + \gamma(w,y) + \gamma(y,x) = \gamma(w,z) - \gamma(x,y).$

Перенося вправо $\gamma(w,z),$ получаем, что

$\dot P(x,y) - \gamma(x,y)\cdot 1 \subseteq\dot P(w,z)-\gamma(w,z)\cdot 1.$

Тогда, поскольку x,y,w и мы выбирали произвольно, получается, что все $\dot P(a,b)-\gamma(a,b)\cdot 1$ равны, то есть равны все $\dot C$ .

Cтоит заметить, что для неразличающихся x,y,w,z утверждение леммы 8.7 тоже выполняется. Докажем, например, что $\dot C(x,y)=\dot C(y, x)$ . Для доказательства выберем $w\in\mathcal O,$ отличный от и и используем лемму 8.7 для пар равенств из следующей цепочки

$\dot C(x,y)=\dot C(w,y)=\dot C(w,x)= \dot C(y,x).$

Оставляем читателю доказательство остальных случаев частичного равенства x,y,z,w между собой.

Доказав, что всевозможные $\dot C(x,y)$ равны, обозначим их все через . Теперь, в полном соответствии с общей идеей доказательства, можно доказать, что выпукло.

Лемма 8.8. выпукло.

Доказательство. Пусть $\alpha,\beta\in C \subseteq \mathbb R^{n}$ . Для начала покажем, что $\alpha + \beta \in C$ . Зафиксируем разные $x,y,z\in\mathcal O$ . Тогда

$\gamma(x,y)\cdot\bf 1 + \alpha\in\dot P(x,y)\text{ и }\gamma(y,z)\cdot\bf 1+\beta\in\dot P(y,z)$

по определению $\gamma(a,b)$ . Cложим их:

$\gamma(x,z)\cdot\bf 1 + \alpha + \beta\in\dot P(x,z),$

и, следовательно, $\alpha + \beta\in C$ .

Вторая часть выпуклости – покажем, что если $\alpha \in C,$ то и $\frac\alpha2 \in C$ . Предположим противное: пусть $\alpha\in C,$ но $\frac\alpha2\notin C$ . Тогда

$\frac\alpha2 + \gamma(x,y)\cdot 1 \notin P(x,y),$

а значит,

$-\frac\alpha2 - \gamma(x,y)\cdot 1 \in P(y,x).$

Следовательно, $-\frac\alpha2\in C,$ и $\frac\alpha2=\alpha+(-\frac\alpha2)\in C$ . Противоречие.

Таким образом, для всех $\alpha,\beta\in C \frac{\alpha+\beta}2\in C,$ то есть выпукло.

Теперь, наконец-то, можно завершать доказательство теоремы. Во-первых, $\bf 0\notin\dot C,$ так как нулевой вектор должен быть на границе: мы уже видели, что если $x \in C,$ то $-x \notin C$ .

Вспомним теорему о подпирающей гиперплоскости: если есть выпуклое множество и есть точка, которая не лежит в его внутренности, то через нее можно провести такую гиперплоскость, что замыкание всего множества будет лежать по одну сторону от этой гиперплоскости. Значит, в нашей ситуации существует вектор $\bf k\in\mathbb R^N,$ для которого $\bf k\cdot\alpha \ge 0$ для любого $\alpha\in\bar C$ (в замыкании). Этот вектор $\bf k$ и будет теми константами k_i, которые нам нужно найти для того, чтобы построить аффинный максимизатор.