Теорема Робертса
Лемма 8.6. Для всех :
![\begin{array}{rcl}\gamma(x,y) &=& - \gamma(y,x),\\ \gamma(x,z) &=& \gamma(x,y) + \gamma(y,z).\end{array}](/sites/default/files/tex_cache/8f48dea3f902a0ffadb9dfd6e40e6ad7.png)
Доказательство. Доказательство проведем в два этапа. Сначала покажем, что для всякого
![\left(\gamma(x,y) + \frac\epsilon2\right)\cdot\bf 1\in P(x,y).](/sites/default/files/tex_cache/7d748ab0e112ac35f2d2a29d1b04862f.png)
Это верно потому, что, начиная с векторы
уже лежат в
. Значит, по лемме 8.5,
![(-\gamma(x,y) - \epsilon)\cdot 1\notin P(y,x).](/sites/default/files/tex_cache/2efc87406b00adf44c76641a5524d85a.png)
Но, с другой стороны,
![(\gamma(x,y) - \epsilon)\cdot 1 \notin P(x,y),](/sites/default/files/tex_cache/499529e769595e87f8f9d2b7e49ffb78.png)
так как не лежит в
. Следовательно, наоборот:
![(-\gamma(x,y) + \frac\epsilon2)\cdot 1 \in P(y,x).](/sites/default/files/tex_cache/fa086fd3846d3f3d1a8aaad2efd17b1a.png)
Таким образом, у нас получилось, что для любого
но при этом
![(-\gamma(x,y) + \epsilon)\in P(x,y).](/sites/default/files/tex_cache/bb5cc0ded683fe2b95fc5ea353ca1dab.png)
Второй этап: поделим пополам и рассмотрим векторы
![\left(\gamma(x,y) + \frac\epsilon2\right)\cdot 1 \in P(x,y)\text{ и }\left(\gamma(y,z) + \frac\epsilon2\right)\cdot 1 \in P(y,z).](/sites/default/files/tex_cache/e73d381f0bfc5663b1e5a529c371a737.png)
![(\gamma(x,y) + \gamma(y,z) + \epsilon)\cdot\bf 1\in P(x,z).](/sites/default/files/tex_cache/7d56741307c47413a88d35c6c1076bc3.png)
Только что мы доказали, что
![\gamma(z,x) \le \gamma(z,y) + \gamma(y,x).](/sites/default/files/tex_cache/544b208e279239905d370d02ed6e1af0.png)
Обратное неравенство легко доказать, если поменять в этом неравенстве буквы и
местами:
![\gamma(y,x) \le \gamma(y,z) + \gamma(z,x),](/sites/default/files/tex_cache/3a9d5838914fa39cbd6230aa585703ab.png)
а затем заменить на
:
![\gamma(y,x) \le -\gamma(z,y) + \gamma(z,x).](/sites/default/files/tex_cache/9fa1a3aa0311aa7e8220173f930379b7.png)
Итого мы получили два противоположных неравенства, то есть доказали искомое равенство .
Теперь мы можем сдвинуть множества . Введем новые множества
![C(x,y) = P(x,y) - \gamma(x,y)\cdot 1,](/sites/default/files/tex_cache/d117c0e0af4aa27ddb9d478a6b781182.png)
для того чтобы . Иначе говоря,
![C(x,y)=\{\alpha -\gamma(x,y)\cdot 1 \ |\ \alpha \in P(x,y)\}.](/sites/default/files/tex_cache/a8b4006e5bea262502efc6678cbb26f0.png)
Также обозначим через внутренность
; формально говоря:
![\dot C = \{\alpha \in C \mid \alpha - \epsilon \in C\text{ для любого }\epsilon > 0 \}.](/sites/default/files/tex_cache/1ee09b276aecb7f24062fb686b66bfe3.png)
Лемма 8.7. Внутренности всех совпадают:
![\dot C(x,y) = \dot C(w, z)\text{ для любых }x,y,w,z\in\mathcal O,\ x\neq y,\ w\neq z.](/sites/default/files/tex_cache/b269bdfbe086539bb9f1b9656eaedf02.png)
Доказательство. По второму пункту леммы 8.6,
![\dot P(x,y)\subseteq\dot P(x,z)-\beta](/sites/default/files/tex_cache/0fec6c64d5216b2f109ae7775f7cbdbb.png)
для любого . Также это верно для
.
Аналогично,
![\dot P(x,z)\subseteq\dot P(w,z)-\alpha](/sites/default/files/tex_cache/5cb2a792292e485e70bc025fd1d0992f.png)
для любого и получается, что
![\dot P(x,y)\subseteq\dot P(w,z)-(\gamma(y,z) + \gamma(w,x))\cdot 1.](/sites/default/files/tex_cache/82e1c54717e98e09edafe4d9605bad43.png)
Также по второму пункту леммы 8.6,
![\gamma(y,z) + \gamma(w,x) = \gamma(y,z) + \gamma(w,y) + \gamma(y,x) = \gamma(w,z) - \gamma(x,y).](/sites/default/files/tex_cache/90050f1c5a1de49a7672f95bf9f592a0.png)
Перенося вправо получаем, что
![\dot P(x,y) - \gamma(x,y)\cdot 1 \subseteq\dot P(w,z)-\gamma(w,z)\cdot 1.](/sites/default/files/tex_cache/69fdfc7e5ba3a126ae7559cb3157c1f3.png)
Тогда, поскольку и
мы выбирали произвольно, получается, что все
равны, то есть равны все
.
Cтоит заметить, что для неразличающихся утверждение леммы 8.7 тоже выполняется. Докажем, например, что
. Для доказательства выберем
отличный от
и
и используем лемму 8.7 для пар равенств из следующей цепочки
![\dot C(x,y)=\dot C(w,y)=\dot C(w,x)= \dot C(y,x).](/sites/default/files/tex_cache/c2005f1a19bc6aca988ad3e3c1839ade.png)
Оставляем читателю доказательство остальных случаев частичного равенства между собой.
Доказав, что всевозможные равны, обозначим их все через
. Теперь, в полном соответствии с общей идеей доказательства, можно доказать, что
выпукло.
Лемма 8.8. выпукло.
Доказательство. Пусть . Для начала покажем, что
. Зафиксируем разные
. Тогда
![\gamma(x,y)\cdot\bf 1 + \alpha\in\dot P(x,y)\text{ и }\gamma(y,z)\cdot\bf 1+\beta\in\dot P(y,z)](/sites/default/files/tex_cache/e78a7efeee858f5081efea773794b078.png)
![\gamma(x,z)\cdot\bf 1 + \alpha + \beta\in\dot P(x,z),](/sites/default/files/tex_cache/ecc7bf34ae7cfc68283d9acac936fbde.png)
и, следовательно, .
Вторая часть выпуклости – покажем, что если то и
. Предположим противное: пусть
но
. Тогда
![\frac\alpha2 + \gamma(x,y)\cdot 1 \notin P(x,y),](/sites/default/files/tex_cache/6b5196805cd6fe958beca3c14808956f.png)
а значит,
![-\frac\alpha2 - \gamma(x,y)\cdot 1 \in P(y,x).](/sites/default/files/tex_cache/6061bbbf7d6528d8ed7a14d30bf89b00.png)
Следовательно, и
. Противоречие.
Таким образом, для всех то есть
выпукло.
Теперь, наконец-то, можно завершать доказательство теоремы. Во-первых, так как нулевой вектор должен быть на границе: мы уже видели, что если
то
.
Вспомним теорему о подпирающей гиперплоскости: если есть выпуклое множество и есть точка, которая не лежит в его внутренности, то через нее можно провести такую гиперплоскость, что замыкание всего множества будет лежать по одну сторону от этой гиперплоскости. Значит, в нашей ситуации существует вектор для которого
для любого
(в замыкании). Этот вектор
и будет теми константами
которые нам нужно найти для того, чтобы построить аффинный максимизатор.
![C_x = \sum_{i=1}^Nk_i\gamma(x_0, x).](/sites/default/files/tex_cache/8c5e40826d5b22c808687061c175a59a.png)
Докажем теперь все необходимые неравенства, то есть
![\sum_{i=1}^N k_i(v_i(x) - v_i(y)) \ge C_y - C_x,](/sites/default/files/tex_cache/fb863bb95b1a91c621978f2218102fca.png)
где . Если
то
. Обозначим
![\alpha = v(x)-v(y)-\gamma(x,y)\cdot\bf 1.](/sites/default/files/tex_cache/f7cfa3a96825738558e6609abfe85434.png)
Тогда, по определению констант и
. Значит,
.
Так как то
![\bf k\cdot \mathbf v(x) + C_x \ge \bf k\cdot \mathbf v(y) + C_y.](/sites/default/files/tex_cache/e2060803643eb6f9d5d06f0e338a7e1c.png)
Это и есть утверждение теоремы, так как мы его доказали для произвольного . Доказательство теоремы 8.1 тем самым завершено.