НОУ ИНТУИТ | Практикум по компьютерной геометрии. Лекция 2: Графика: основные принципы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 27.12.2010 | Доступ: свободный | Студентов: 1030 / 278 | Оценка: 5.00 / 5.00 | Длительность: 18:38:00

ISBN: 978-5-9556-0117-5

Темы: Математика, САПР

Специальности: Математик

Теги: алгебра, анализ, вычисления, геометрия, программное обеспечение

|

Вам нравится? Нравится 14 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Графика, порожденная функциями и другими числовыми данными

Двумерная графика

Как уже говорилось в начале, Mathematica располагает специальным арсеналом средств, позволяющих визуализировать числовые данные и функции. Самый простой и известный способ визуализировать функцию - это построить ее график. Это делается с помощью уже встречавшейся нам команды $\text{\tt Plot}$ :

$\tt In[61]:=Plot[Sin[x], \{х, -$\pi$, $\pi$\}]$

На самом деле команда $\text{\tt Plot}$ генерирует по данной функции графические примитивы, директивы и опции и формирует затем соответствующую команду $\text{\tt Graphics}$ :

$\tt In[62]:=InputForm[Plot[Sin[x], \{x, -$\pi$, $\pi$\}]] //Short \\ \\ Out[62]=Graphics[\{\{\{\}, \{\}, \{Hue[0.67, 0.6,\\ \phantom{Out[62]=Gr}0.6], Line[\{\{<<2>>, <<30>>\}]\}\}\}, \{<<6>>\}]$

Таким образом, мы видим, что $\text{\tt Plot}$ , на самом деле, строит ломаную линию. При желании этим можно воспользоваться:

$\tt In[63]:=gg = Plot[Sin[x], \{х, -$\pi$ ,$\pi$\}];\\ \phantom{In[63]:=}gg[\!\![l, 1, 3, 1]\!\!]\\ \\ Out[64]=Hue[0.67, 0.6, 0.6]$

Вот мы вычленили директиву, предшествующую собственно ломаной. Ее можно подменить, например так:

$\tt In[65]:=gg[\!\![l, 1, 3, l]\!\!] = Sequence [Red, Thick, Dashed];\\ \phantom{In[65]:=}gg$

С одной стороны, в командах типа $\text{\tt Plot}$ можно использовать опции обычной графики. С другой стороны, есть и специальные способы управления, главные из которых $\text{\tt PlotStyle}$ и $\text{\tt ColorFunction}$ . Опция $\text{\tt PlotStyle}$ служит для использования уже знакомых нам графических директив. Теперь Mathematica сама поставит их в нужное место в команде $\text{\tt Graphics}$ :

$\tt In[67]:=\{Plot[\{Red, Dashed, Thick, Sin[x]\}, \{x, -$\pi$, $\pi$\}],\\ \phantom{In[67]:=\{}Plot[Sin[x], \{x, -$\pi$, $\pi$\},\\ \phantom{In[67]:=\{P}PlotStyle $\to$ \{RGBColor[l, 0, 0], Dashed, Thick\}]\}$

Опция $\text{\tt ColorFunction}$ служит для управления цветом изображаемого графика. Имена и смысл переменных этой функции фиксированы (для каждого типа графики - свои, для обычного $\text{\tt Plot}$ , например, это x, y ). В качестве примера раскрасим график в соответствии с кривизной соответствующей плоской кривой:

$\tt In[68]:=ClearAll[g];\\ \phantom{In[68]:=}cur[f\_][t\_] := $\frac{Abs[D[f[t],t,t]]}{(l+D[f[t],t]^2)^{3/2}}$;\\ \phantom{In[68]:=}g[t\_] = cur[Sin][t]; \\ \phantom{In[68]:=}\{Plot[Sin[x], {x, -$\pi$, $\pi$\}, PlotStyle $\to$ \{Thick\},\\ \phantom{In[68]:=Cl}ColorFunction $\to$ Function [\{x, y\}, Hue$[\frac{g[x]}{1.1}]$],\\ \phantom{In[68]:=Cl}ColorFunctionScaling $\to$ False],\\ \phantom{In[68]:=C}Plot[g[t], \{t, -$\pi$, $\pi$\}]\}$

Замечание. На самом деле, чтобы картина была реалистичной, пришлось отмасштабировать кривизну так, чтобы она менялась от 0 до 1/2 (важно, чтобы не доходила до 1). Здесь мы пользуемся тем, что кривизна графика синуса меняется от нуля (на рисунке - красный) до единицы (синий). Опция $\text{\tt ColorFunctionScaling }$\to$\text{ False}$ отключает автоматическое масштабирование функции, отвечающей за цвет, которое затемняет дело.

Перечислим теперь встроенные возможности функции $\text{\tt Plot}$ . Во-первых, можно рисовать сразу несколько графиков, причем они автоматически получаются разноцветными. Можно и самим регулировать их вид (с помощью $\text{\tt PlotStyle}$ ):

$\tt In[72]:=\{Plot[\{Sin[x], 1.2Sin[2x], 1.3Sin[3x]\}, \{x, 0, 10\}],\\ \phantom{In[72]:=\{}Plot[\{Sin[х], 1.2Sin[2x], 1.3Sin[3x]\}, \{x, 0, 10\},\\ \phantom{In[72]:=\{P}PlotStyle $\to$ \{\{Red, Thick\}, \{Dashed, Blue\}, \{Orange\}\}]\}$

Можно также закрашивать области, ограниченные графиком (графиками). Это исполняется с помощью опции $\text{\tt Filling}$ , значение которой устанавливается в тип заполнения ("до оси", "подграфик", "надграфик"):

$\tt In[73]:=Plot[\{Sin[x], 1.2Sin[2x], 1.3Sin[3x]\}, \{x, 0, 10\}, \\ \phantom{In[73]:=P}Filling $\to$ \{l $\to$ Axis, 2 $\to$ Bottom, 3 $\to$ Top\}]$

Более хитрый вид заполнения: для 2-го объекта выбрано заполнение до 1-го. Можно также добавить директивы, как именно заполнять:

$\tt In[74]:=\\ \phantom{In}\{Plot[\{Sin[x], 1.4Sin[2x]\}, \{х, 0, 10\}, Fillings $\to$ \{2 $\to$ \{1\}\}],\\ \phantom{In\{}Plot[\{Sin[x], 1.4Sin[2x]\}, \{x, 0, 10\},\\ \phantom{In\{P}Filling $\to$ \{2 $\to$ \{l, \{Red, Blue\}\}\}]\}$

Можно явно указать, сколько точек участвуют в построении ломаной, изображающей кривую. Современные версии Mathematica сами следят за качеством графика, поэтому $\text{\tt PlotPoints}$ в двумерной графике - это начальное количество точек аппроксимации (по умолчанию равен 50). Если картинка Mathematica не нравится, она сама подразобьет кривую столько раз, сколько ей захочется. Чтобы запретить ей это, нужно ограничить рекурсию с помощью опции $\text{\tt MaxRecursion}$ (которая устанавливается в количество итераций). Чтобы увидеть точки-вершины ломаной, нужно использовать опцию $\text{\tt Mesh}$ :

$\tt In[75]:=\{Plot[Sin[x], \{x, -$\pi$, $\pi$\}, Mesh$\to$All, MaxRecursion$\to$0],\\ \phantom{In[75]:=\{}Plot[Sin[x], \{x, -$\pi$, $\pi$\}, PlotPoints$\to$5, Mesh$\to$All,\\ \phantom{In[75]:=\{P}MaxRecursion$\to$0],\\ \phantom{In[75]:=\{}Plot[Sin[x], \{x, -$\pi$, $\pi$\}, PlotPoints$\to$5, Mesh$\to$All,\\ \phantom{In[75]:=\{P}MaxRecursion$\to$1],\\ \phantom{In[75]:=\{}Plot[Sin[x], \{x, -$\pi$, $\pi$\}, PlotPoints$\to$5, Mesh$\to$All]\}$

Иногда полезно исключить из рассмотрения какие-нибудь точки. Для этого служит опция $\text{\tt Exclusions}$ , которая устанавливается в условие:

$\tt In[76]:=\{Plot[Tan[x], \{х, -2$\pi$, 2$\pi$\}],\\ \phantom{In[76]:=\{}Plot[Tan[x], \{х, -2$\pi$, 2$\pi$\}, Exclusions$\to$\{Cos[x] == 0\}]\}$

К двумерным способам представления числовых данных относятся так же:

$\text{\tt ListPlot, ListLinePlot, ArrayPlot}$ ,
$\text{\tt PolarPlot, ParametricPlot}$ ,
$\text{\tt ContourPlot, DensityPlot}$ ,
$\text{\tt RegionPlot}$ .

Первые три служат для изображения дискретных данных (одномерных или двумерных). Вот одномерные данные:

$\tt In[77]:=data = Table [Random[], \{20\}];\\ \phantom{In[77]:=}\{ListPlot[data, Filling $\to$ Axis], \\ \phantom{In[77]:=d}ListLinePlot[data,Filling $\to$ Axis]}$

А вот - двумерные. Обратите внимание, что $\text{\tt ListLinePlot}$ просто соединяет последовательные точки линией.

$\tt In[79]:=\\ \phantom{In}data = Table[\{Cos[\#], Sin[\#]\} \& [Random[Real, 2$\pi$]], \{i, 1, 40\}];\\ \phantom{In}\{ListPlot[data, AspectRatio $\to$ Automatic],\\ \phantom{Ind}ListLinePlot[data, AspectRatio $\to$ Automatic]\}$

$\text{\tt ArrayPlot}$ изображает числа строки в виде раскрашенных квадратиков. По умолчанию они черно-белые, но можно их и раскрасить:

$\tt In[81]:=ArrayPlot[Transpose[data]]$

Можно задать цвета явно с помощью правил $\text{\tt ColorRules}$ , можно использовать $\text{\tt ColorFunction}$ . Мы нарисуем число $\pi$ :

$\tt In[82]:=curpet[х\_, m\_, n\_] :=\\ \phantom{In[82]:=cu}Module[\{res, хх, i\},\\ \phantom{In[82]:=cur}(*Эта подпрограммка вычисляет цифры числа х и \\ \phantom{In[82]:=curp}организовывает их в массив\}*)\\ \phantom{In[82]:=cur}хх = N[x, m n];\\ \phantom{In[82]:=cur}res = \{RealDigits[хх, 10, m] [\!\![1]\!\!]\};\\ \phantom{In[82]:=cur}xx = xх/10$^{\text{RealDigits}[xx,10,m][\![2]\!]}$;\\ \phantom{In[82]:=cur}For[i = l, i $\le$ n - 1, i++,\\ \phantom{In[82]:=curp}res = res$\sim$Join$\sim$\{RealDigits[xx, 10, m, -m i - 1][\!\![1]\!\!]\}\\ \phantom{In[82]:=cur}];\\ \phantom{In[82]:=cur}res\\ \phantom{In[82]:=cu}];\\ \phantom{In[82]:=}rules = \{0$\to$Red, 1$\to$Pink, 2$\to$Orange, 3$\to$Brown, 4$\to$Yellow,\\ \phantom{In[82]:=cur}5$\to$Green, 6$\to$Cyan, 7$\to$Blue, 8$\to$Magenta, 9$\to$Purple\};$

$\tt In[84]:={ArrayPlot[curpet[$\pi$, 40, 40], ColorRules$\to$rules],\\ \phantom{In[84]:=\{}ArrayPlot[curpet[$\pi$, 40, 40], ColorFunction$\to$"Pastel"\ \!\!\!],\\ \phantom{In[82]:=\{}ArrayPlot[curpet[$\pi$, 40, 40], ColorFunction$\to$"Rainbow"\ \!\!\!] \}$

Команда $\text{\tt PolarPlot}$ удобна для рисования кривых, заданных в полярных координатах. Имеется также ее модификация $\text{\tt ListPolarPlot}$ :

$\tt In[85]:=PolarPlot[\{l, 1 + 1/2Sin[10t], 1/2\}, \{t, 0, 2Pi\},\\ \phantom{In[85]:=P}PlotStyle $\to$ \{Green, \{Dashed, Thick, Orange\},\\ \phantom{In[85]:=Pol}\{Thickness[0.005], Green\}\}]$

Дальше >>

Авторизоваться

Практикум по компьютерной геометрии

Графика: основные принципы

Графика, порожденная функциями и другими числовыми данными

Двумерная графика

Вопросы и ответы